专题10 解三角形-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)

专题10 解三角形

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA?bsinB=4csinC，

cosA=?A．6 C．4 【答案】A

【解析】由已知及正弦定理可得a2?b2?4c2，

1b，则= 4c

B．5 D．3

1b2?c2?a2c2?4c213c1由余弦定理推论可得??cosA?,???,??,

42bc2bc42b4b3???4?6，故选A． c2【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a，b，c关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

2．【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，?APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

A．4β+4cosβ C．2β+2cosβ 【答案】B

B．4β+4sinβ D．2β+2sinβ

【解析】设圆心为O，如图1，连接OA，OB，AB，OP，则?AOB?2?APB?2?，

所以S扇形OAB2??22??4?，

2因为S阴影?S扇形OAB?S△ABP?S△AOB，且S扇形OAB，S△AOB都已确定， 所以当S△ABP最大时，阴影部分面积最大.

观察图象可知，当P为弧AB的中点时（如图2），阴影部分的面积S取最大值，

1

此时∠BOP=∠AOP=π?β，面积S的最大值为S阴影?S扇形OAB?S△ABP?S△AOB=4β+S△POB+ S△POA=4β+

12|OP||OB|sin（π?β）+

1|OP||OA|sin（π?β）=4β+2sinβ+2sinβ=4β+4 sinβ，故选B. 2【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.

3．【2018年高考全国Ⅲ文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为

a2?b2?c2，则C?

4? 2?C．

4A．【答案】C

【解析】由题可知S△ABC? 3?D．

6B．

1a2?b2?c2，所以a2?b2?c2?2absinC， ?absinC?24π， 4由余弦定理a2?b2?c2?2abcosC，得sinC?cosC，因为C??0,π?，所以C?故选C.

【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用. 4．【2018年高考全国Ⅱ文数】在△ABC中，cosC5，BC?1，AC?5，则AB? ?252

A．42 C．29 【答案】A

B．30 D．25 【解析】因为cos3C5522C?1=2×(，所以cosC=2cos?)?1=?.

25255222

BC×cosC=52+12?2×5×1×(?)=32， 于是，在△ABC中，由余弦定理得AB=AC+BC?2AC ×

35所以AB=42.故选A.

【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.

5．B，C的对边分别为a，b，c．【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC的内角A，已知sinB?sinA(sinC?cosC)?0，

a=2，c=2，则C=

π 12πC．

4A．【答案】B

π 6πD．

3B．

【解析】由题意sin(A?C)?sinA(sinC?cosC)?0得

sinAcosC?cosAsinC?sinAsinC?sinAcosC?0，

即sinC(sinA?cosA)?π3π2sinCsin(A?)?0，所以A?．

4422ac1??由正弦定理得3πsinC，即sinC?， sinAsinCsin24因为c

3

虑两个定理都有可能用到．

6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，

则B=___________. 【答案】

3π 4A?(0,?),B?(0,?)，?sinA?0,

【解析】由正弦定理，得sinBsinA?sinAcosB?0．∴sinB?cosB?0，即tanB??1，?B?3?. 4【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．

7．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，?ABC?90?，AB?4，BC?3，点D在线段AC上，若

?BDC?45?，则BD?___________，cos?ABD?___________．

【答案】12272 ，510【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理有：

ABBD3π?，而AB?4,?ADB?，

sin?ADBsin?BAC4AC=AB2+BC2=5，sin?BAC?BC3AB4122?,cos?BAC??，所以BD?. AC5AC55ππ72. cos?ABD?cos(?BDC??BAC)?coscos?BAC?sinsin?BAC?4410

【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在△ABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 8．【2018年高考北京卷文数】若△ABC的面积为32a?c2?b2，且∠C为钝角，则∠B=_________；4??

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