(完整版)小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全

五年级奥数

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小学奥数基础教程（五年级）

第1讲数字迷（一） 第2讲数字谜（二） 第3讲定义新运算（一） 第4讲定义新运算（二） 第5讲数的整除性（一）

第6讲数的整除性（二） 第7讲奇偶性（一） 第8讲奇偶性（二） 第9讲奇偶性（三）

第10讲质数与合数 第11讲分解质因数

第12讲 最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）

第14讲余数问题

第15讲孙子问题与逐步约束法

第16讲巧算24 第17讲位置原则 第18讲最大最小

第19讲图形的分割与拼接 第20讲多边形的面积

第21讲 用等量代换求面积

第22讲用割补法求面积 第23讲列方程解应用题 第24讲行程问题（一） 第25讲行程问题（二）

第26讲行程问题（三） 第27讲逻辑问题（一）

第28讲逻辑问题（二） 第29讲抽屉原理（一）

第30讲抽屉原理（二）

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第1讲数字谜（一）

数字谜的内容在三年级和四年级都讲过， 同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、 枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。 例1把+ , -,X,宁四个运算符号，分别填入下面等式的。内，使等式成立（每个运算符号只准使 用一次）：（501307）0（ 1709） =12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定 “十”

的位置。

当“宁”在第一个O内时，因为除数是13,要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数, 此时只有下面一种填法，不合题意。（5- 13-7 ）X（ 17+9）。

当“宁”在第二或第四个O内时，运算结果不可能是整数。 当“十”在第三个O内时，可得下面的填法：（5+13X 7）-（ 17-9） =12。

例2将1?9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□ 口口乂 □口 =□□*□□ =5568。

解：将5568质因数分解为5568=26 X 3X 29。由此容易知道，将5568分解为两个两位数的乘积 有

两种：58 X 96和64 X 87,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：

12X 464, 16 X 348, 24 X 232,

29X 192, 32 X 174, 48 X 116。

显然，符合题意的只有下面一种填法：174X 32=58X 96=556& 例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被

573整除。

分析与解：先用443000除以573,通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由 443000-

573=773……71 推知，443000+ （573-71 ） =443502 一定能被 573 整除，所以应添 502 例4已知六位数33□口44是89的倍数，求这个六位数。

分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。

先从右边做除法。由被除数的个位是 4,推知商的个位是6;由左下式知，十位相减后的差是1, 所以商的十位是9。这时，虽然89X 96=8544,但不能认为六位数中间的两个□内是 85,因为还 没有考虑前面两位数。

8 9)3 3Q

E 0 1 PET a

幺D 1 0

再从左边做除法。如右上式所示， a可能是6或7,所以b只可能是7或&

由左、右两边做除法的商，得到商是 3796 或 3896。由 3796X 89=337844, 3896 X 89=346744 知，商是3796,所求六位数是337844。

例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适 当的数

字代替字母，使加法竖式成立。

FORTY TEN + TEN SIXTY

2:9786 850 十850 31486

分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y￡ Y+ 10,推知N要么是0,要么是5。如果N=5,那么 要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+仁■或T+10,等号两边的奇偶性不同，所以NM5, N=Q 此时，由竖式的十位加法 T+E+E=T或 T+10, E不是0就是5,但是N=0,所以E=5

竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。 因为N=0,所以I工0,推知1=1 , 0=9,说明百位加法向千位进2。

再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进 1,百位加法向千位进2,且 灯0或1, 所以R+T+T+P22,再由R, T都不等于9知，T只能是7或&

若T=7,则R=8, X=3,这时只剩下数字2, 4, 6没有用过，而S只比F大1, S, F不可能是2, 4, 6

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中的数，矛盾。

若T=8,则R只能取6或7。R=6时，X=3,这时只剩下2, 4, 7,同上理由，出现矛盾；R=7时, X=4,剩下数字2, 3, 6,可取F=2, S=3, 丫=&所求竖式见上页右式。

解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数 学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40 , 10 , 10 , 60 ,而40+10+10正好是 60,真是巧极了！ 例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当 的数

字，使竖式成立。 10702 10703 10704 ABOBD EFAG -9814 -9315 -921S -EFAG

838 FFF ABCBD 888 888

分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减 法变成加法来研究呢(见右上式)？不妨试试看。

因为百位加法只能向千位进1,所以E=9, A=1, B=0b

如果个位加法不向上进位，那么由十位加法 1+F=10,得F=9,与E=9矛盾，所以个位加法向上 进1,由1+F+1=1Q得到F=8,这时C=7。余下的数字有2, 3, 4, 5, 6,由个位加法知，G比D 大2,所以G, D分别可取4, 2或5, 3或6, 4。所求竖式是

解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变 换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。 练习1

1. 在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是 621819,求原来的四位数。 解：621819-( 100-1 ) = 6281。

2. 在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替

字母，使竖式成立：

(1) A B (2) A B A B

+ B C A - A C A __________________ A B C B A A C

￡ 4 S T 3 T

+4 Q § — 8 § 8 ~5 4 9 7 3 5 9

(1) 由百位加法知，A=B+1再由十位加法 A+C=B+10推知C=9,进而得到A=5, B=4 (见上右式)

(2) 由千位加法知B=A-1，再由个位减法知C=Q因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1, 所以百

位减法是(10+B-1) -A=A,

化简为9+B=2A将B=A-1代入，得A=8, B=7 (见右上式)。

3. 在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大： 1 — 2 — 3 — 4— 5 — 6 — 7 — 8 — 9。

解：1-( 2-3- 4- 5-6 -7 -8 -9) =90720。 4. 在下面的算式中填上若干个()，使得等式成立：1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8 解：1-( 2-3)- 4-( 5-6-7-8)- 9=2.8。

提示’因为22 冬二 而1必须在分子上，2必须在分母上，即器 卞吕、剩下的玉4, 6, 8, ■五个数填在耳中，应使吕=4只有 3X6X8 甜 土* , 1X3X6X7X8 =7 一种填法。由沖沖9 F帶花 5.

□ □*□口

「捍址*

将1?9分别填入下式的□中，使等式成立：=□□*□□□ =3634。

提示：3634=2X 23 X 79。46 X 79= 23 X 158= 3634。

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6. 六位数391 □ □□是789的倍数，求这个六位数。 提示：仿照例3。391344。 7. 已知六位数7□口 888是83的倍数，求这个六位数。

提示：仿例4,商的后3位是336,商的第一位是8或9。774888。