2011年浙江省丽水市中考数学试题(WORD解析版)

∴（3t）+t=1，∴

222

，

∴C（，），又B（，0），

∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得

解得：a=，

答：a的值是﹣

．

②答：a关于n的关系式是．

点评：本题主要考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好综合性强． 24、（2011?金华）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF． （1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算；平行线分线段成比例。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根据弧长公式求解； （2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定

理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标． 解答：（1）连接BC， ∵A（10，0），∴OA=10，CA=5， ∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，∴弧AB的长=

（2）连接OD，

；（4分）

∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°，又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线， ∴OD=OA=10， 在Rt△ODE中， OE=

=

，

∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4， 由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴

，即

，∴EF=3；（4分）

（3）设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角 形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB， 当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC 中点，即OE=，

∴E1（，0）；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣x，AE=10﹣x， ∴CF∥AB，有CF=∵△ECF∽△EAD， ∴

，即

，解得：

，

，

∴E2（

，0）；

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF＞∠BOA， ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连接BE， ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD， ∴∠BEA=∠BAO， ∴∠BEA=∠ECF， ∴CF∥BE，∴

，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED，∴

，

而AD=2BE，∴，

即，解得，＜0（舍去），

∴E3（

，0）；

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF． ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连接BE，得BE=∴∠ECF=∠BEA， ∴CF∥BE， ∴

，

=AB，∠BEA=∠BAO

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°， ∴△CEF∽△AED，∴

，