当前位置：首页 > （全国通用版）2020高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质学案 文
第1讲 函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称． 3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝
f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.
常见结论：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0. (2)若f(x＋a)＝
1
，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0. f?x?
(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝
a＋b2
对称．
1
?π?2cos?－πx?＋?x＋e??2?
例1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f(x)＝的最大值为M，2
x＋e2
最小值为N，则(M＋N－1)A．1 B．2 C．2答案 A
2 018
2 018
的值为( )
D．3
2 018
?π?2cos?－πx?＋?x＋e??2?
解析 由已知x∈R，f(x)＝ 2
x＋e2
sin πx＋x＋e＋2exsin πx＋2ex＝＝＋1，
x2＋e2x2＋e2sin πx＋2ex令g(x)＝，易知g(x)为奇函数，
x2＋e2
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
2
2
M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 018＝1，故选A.
(2)(2018·上饶模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝e－1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝________. 答案 1－e
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称， 又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)， 所以f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋f(0) ＝－f(1)＋f(0)＝－(e－1)＋(e－1)＝1－e.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1) ??2，x≤0，跟踪演练1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝? ?1，x>0，? －x1 0 x 则满足f(x＋1) ??x＋1≤0， 解析 方法一 ①当? ??2x≤0， B．(0，＋∞) D．(－∞，0) 即x≤－1时，f(x＋1) －(x＋1) <2 －2x， 即－(x＋1)<－2x， 解得x<1. 2 因此不等式的解集为(－∞，－1]． ??x＋1≤0，②当? ??2x>0?x＋1>0，?③当? ??2x≤0， 时，不等式组无解． 即－1 －2x，解得x<0.因此不等式的解集为(－ 1,0)． ??x＋1>0， ④当? ?2x>0，? 即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意． 综上，不等式f(x＋1) ??2，x≤0，方法二 ∵f(x)＝? ??1，x>0， －x ∴函数f(x)的图象如图所示． 由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1) 当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1， 满足f(x＋1) 综上，不等式f(x＋1) (2)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( ) A．－50 B．0 C．2 D．50 答案 C 解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0， 3 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 故选C. 热点二 函数图象及应用 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2018·枣庄模拟)函数f(x)＝ln(|x|－1)＋x的大致图象为( ) 答案 A 解析 由题意，函数f(x)满足|x|－1>0，则x>1或x<－1， 当x>1时，f(x)＝ln(x－1)＋x为增函数，当x＝－2时，f(－2)＝ln(|－2|－1)－2＝－2<0， 故选A. (2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f(x)＝e＋ae与g(x)＝x＋ax在同一坐标系内的图象不可能是( ) x－x2 4 搜索更多关于： （全国通用版）2020高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 的文档
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