（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分2第2讲空间向量与立体几何刷好题练能力文

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第2讲 空间向量与立体几何

1．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，求异面直线BC1

与AE所成角的余弦值．

解：建立坐标系如图， 则A(1，0，0)，E(0，2，1)，

B(1，2，0)，C1(0，2，2)． BC1＝(－1，0，2)，

→→

AE＝(－1，2，1)，

→→BC1·AE30→

cos〈BC1，AE〉＝＝. →→10|BC1|·|AE|

→

所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为

30. 10

2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点

E、F分别是棱AB、BB1的中点，求直线EF和BC1所成的角．

解：建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)， →→

则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)， →→

所以EF·BC1＝2， →→

所以cos〈EF，BC1〉＝1＝，

2×2222

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所以直线EF和BC1所成角为60°.

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，

1??则A1(0，0，1)，E?1，0，?，D(0，1，0)，

2??1?→→?

所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝?1，0，－?，

2??设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，

y－z＝0，????y＝2，

则?1所以?所以n1＝(1，2，2)．

?z＝2.1－z＝0，???2

因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 22

所以cos〈n1，n2〉＝＝. 3×13

2

故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.

3

4．如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．

(1)求证：BM∥平面D1AC； (2)求证：D1O⊥平面AB1C.

证明：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)、D1(0，0，2)，

→

所以OD1＝(－1，－1，2)， 又点B(2，2，0)，M(1，1，2)， →

所以BM＝(－1，－1，2)，

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→→所以OD1＝BM，

又因为OD1与BM不共线， 所以OD1∥BM.

又OD1?平面D1AC，BM?平面D1AC， 所以BM∥平面D1AC.

→→→→

(2)连结OB1，因为OD1·OB1＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0，OD1·AC＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0， →→→→所以OD1⊥OB1，OD1⊥AC， 即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，

又OB1∩AC＝O，所以D1O⊥平面AB1C.

5.(2019·盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M是CC1的中点．

(1)求证：A1B⊥AM；

(2)求二面角B-AM-C的平面角的大小．

→→→

解：(1)证明：以点C为原点，{CB，CA，CC1}为正交基底，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示，

则B(1，0，0)，A(0，3，0)，

A1(0，3，6)，M?0，0，

??6??. 2?

→

所以A1B＝(1，－3，－6)， →

AM＝?0，－3，

??6??. 2?

?6?→→

因为A1B·AM＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×??＝0，

?2?

所以A1B⊥AM.

(2)易知BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC.

→→

所以CB是平面AMC的一个法向量，CB＝(1，0，0)． 设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量， →

BA＝(－1，3，0)，BM＝?－1，0，

→?

?

6??. 2?

?－x＋3y＝0，→??n·BA＝0，?

由?得? 6→－x＋z＝0.??n·BM＝0，?2?

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令z＝2，得x＝6，y＝2，所以n＝(6，2，2)． →

因为|CB|＝1，|n|＝23， →CB·n2→

所以cos〈CB，n〉＝＝. →2|CB||n|因此二面角B-AM-C的大小为45°.

6．(2019·常州检测)如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，

AD＝3，E是PB的中点．

(1)求证：AE⊥平面PBC； (2)求二面角B-PC-D的余弦值．

→→→

解：(1)证明：分别以{AB，AD，AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，1??1

0，1)，E?，0，?；

2??2

1?→→?1→

所以AE＝?，0，?，BC＝(0，1，0)，BP＝(－1，0，1)；

2??2→→→→→→→→

因为AE·BC＝0，AE·BP＝0，所以AE⊥BC，AE⊥BP， 即AE⊥BC，AE⊥BP.

而BC、BP?平面PBC，且BC∩BP＝B， 所以AE⊥平面PBC.

→→

(2)设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，而CD＝(－1，2，0)，PD＝(0，3，－1)， →??n·CD＝0，??－x＋2y＝0，

则由????

?→3y－z＝0???n·PD＝0

?x＝2y，?

?取y＝1，则x＝2，z＝3，即n＝(2，1，3)． ?z＝3y，?

1?→→?1

又由(1)AE⊥平面PBC，所以AE是平面PBC的法向量，而AE＝?，0，?，

2??2

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