名师推荐第四章向量代数与空间解析几何(2)

第四章 向量代数与空间解析几何

向量作为研究与刻划空间解析几何的有效工具，需要掌握向量的基础概念与运算；而空间解析几何作为一门独立的课程，有着丰富的内容。在此，作为高等数学中的一个章节，仅是为了学习和研究多元函数微积分而补充的一个基础工具。

§4-1 向量代数

1. 向量的概念

(1)几何描述(长度与方向)(2)代数描述(坐标)

2. 向量的运算

(1)基本的运算a?b,?a,a?b,a?b.上述运算都从几何和代数两个角度入手作了描述,请分析比较.几何上的描述便于理解与对问题的分析,代数上的描述适于运算.(2)特别还有混合积运算[abc],请理解其几何意义和代数运算表达式.

3. 向量的关系

|a|,(a,b)；a?b,ab

4. 对向量的几何描述与代数描述，是在建立了直角坐标系的框架下，利用“投影”概

念来建立两者的关系的。

§4-2 空间解析几何

1. 基本概念

(1)空间解析几何是在建立了坐标系的框架下,用分析的方法来研究几何问题.(2)方程与图形：用方程来刻划与描述图形,用图形来阐述方程.

2. 平面与直线

平面及其方程,空间直线及其方程,是作为空间解析几何中最简单的研究对象. 3. 曲

面与空间曲线

(1)规则的二次曲面及其方程(指没有交叉乘积项).(2)特别关注不规则的投影柱面、柱面、旋转曲面.(3)空间曲线的描述主要基于两曲面的交线；也可视为点的运动轨迹,用参数方程表示.

§4-3 示 例

例1设(a?b)?c?2,则((a?b)?(b?c))?(c?a)?解原式?(a?b)?c?(b?c)?a?2[abc]?4.注：(i)(a?b)?c?[abc]?[bca]??[bac]等..(ii)a,b,c共面?[abc]?0.可知,若[abc]的计算中出现a,b,c中有两个向量相等(或平行),则[abc]?0.例2若a?b?a?b,证明a?b.证因|a?b|2?(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)

?(a?b)?a?(a?b)?b?0.所以a?b.注：|a|2?a?a是常用公式.例3设a?0,b?0,且|b|?2,(a,b)?|a+xb|?|a|.x?03x|a+xb|2?|a|22xa?b+x2|b|2解原式?lim?limx?0x(|a+xb|?|a|)x?0x(|a+xb|?|a|),求lim?

|a||b|+x|b|2|a||b|1?lim??|b|?1.x?0|a+xb|?|a|2|a|2例4设有两条不平行直线r1??1n1?c1,r2??2n2?c2,证明：两条直线相交的充分必要条件是(n1?n2)?(c1?c2)?0.注：直线的向量表示式设直线L的方向向量为n,C为L上一点.设P为L上任一点,则OP?OCn.记OP?r,OC?c,则r??n?c.

证必要性.若两直线相交,即存在r0使r0??1n1?c1,r0??2n2?c2,故c1?c2??2n2??1n1,于是(n1?n2)?(c1?c2)?(n1?n2)?(?2n2??1n1)?0.充分性.若(n1?n2)?(c1?c2)?0,则n1,n2,c1?c2共面,得c1?c2???1n1??2n2,即

?1n1?c1??2n2?c2故r0既在r1上又在r2上,所以r1与r2相交.r0,

例5通过直线?x?2t?1?x?2t?3L?1：?y?3t?2和L??2：?y?3t?1?z?2t?3??z?2t?1的平面方程是.解L1和L2是平行的,方向向量s?(2,3,2).在L1和L2上分别取点M1(?1,2,?3)和M2(3,?1,1).则M1M2?(4,?3,4),从而所求平面的法向量为n?s?M1M2?18(1,0,?1).于是所求平面方程为(x?1)?(z?3)?0即x?z?2?0.例6设直线l过点M(1,?2,0)且与两直线?x??2?tl??2x?z?11：?x?y?3z?5,l?2：?y?1?4t??z?3垂直,则l的参数方程为.解l1的方向向量为ijks1?201?(1,?5,?2).1?13l2的方向向量为s2?(1,?4,0).故l的方向向量为s?s1?s2??(8,2,?1).从而l的参数方程为

??x?1?8t?y??2?2t.??z??t

?x?y?b?0例7设直线l：?在平面?上,而?与曲面z?x2?y2相?x?ay?z?3?0切于点(1,?2,5),求a,b之值.解平面?的法向量n?(2x,2y,?1)(1,?2,5)?(2,?4,?1).故?的方程为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0.l的参数方程为?x??t?b??y?t?z?(a?1)t?(3?b)?由于l在?上,故有2(?t?b?1)?4(t?2)?((a?1)t?(3?b)?5)?0.即?(a?5)t?(b?2)?0,故a??5,b??2.?x?2y?3z?2例8设直线?在平面z?1上的投影直线为L,则点2x?y?z?3?M(1,2,1)到L的距离为.解由于点M恰在平面z?1上,故点M到L的距离恰为点M到投影平面的距离.在已知直线方程中消去z得投影平面方程为7x?y?11?0,故d?|7?2?11|72?(?1)2?32.5