广东省2013届高三最新数学（文）分类汇编：圆锥曲线

章丘一中王希刚

∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?x1(x?x1), 2即y?x11x?y1?x12 22x12x1, ∴y?1x?y1 . 42x1x0?y1. ① 2∵y1?∵点P(x0,y0)在切线l1上, ∴y0?同理, y0?x2x0?y2. ② 2xx0?y 2综合①、②得,点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程 y0?∵经过B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的, ∴直线L的方程为y0?xx0?y, 2∵点A(2,3)在直线L上, ∴y0?x0?3 ∴点P的轨迹方程为y?x?3

P在椭圆C1上,又在直线y?x?3上, 若PF1?PF2?AF1?AF2 ,则点

∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),

∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点.

P有两个 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点

解法3:显然直线L的斜率存在,设直线L的方程为y?kx?2?3,

????y?k?x?2??3,2由?消去y,得x?4kx?8k?12?0

2??x?4y,设Bx1,y1,Cx2,y2,则x1?x2?4k,x1x2?8k?12 由x2?4y,即y?????112x,得y??x 42x1(x?x1), 2∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?

章丘一中王希刚

即y?x11x?y1?x12 22∵y1?x112x1, ∴y?1x?x12. 424x212x?x2 24同理,得抛物线C2在点C处的切线l2的方程为y??x1y?x???2由??y?x2x???2?x1?x212x,?2k,?x?241解得? ?12?y?x1x2?2k?3.x2,??44∴P2k,2k?3

∵PF1?PF2?AF1?AF2,

??x2y2??1上 ∴点P在椭圆C1:1612∴

?2k?162?2?2k?3?122?1.

化简得7k?12k?3?0.(*)

2由Δ?12?4?7??3?228?0,

??可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个

34.解:(Ⅰ)由|PF1|?|PF2|?2?2|F1F2|知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支,由

2y2?1(x?1). c?2,2a?2,∴b?3,故轨迹E的方程为x?3(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l方程为y?k(x?2),与双曲线方程联立消y得

(k2?3)x2?4k2x?4k2?3?0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2), ?k2?3?0????02?24k∴?x?x?, 解得k?3 ?012k2?3??4k2?3?x1?x2?2?0k?3?

章丘一中王希刚

?????????(i)∵MP?MQ?(x1?m)(x2?m)?y1y2 ?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?m2?4k2 (k2?1)(4k2?3)4k2(2k2?m)???m2?4k222k?3k?33?(4m?5)k22??m 2k?3?????????假设存在实数m,使得MP?MQ?0,

故得3(1?m2)?k2(m2?4m?5)?0对任意的k?3恒成立,

2??1?m?0∴?2,解得m??1. ??m?4m?5?0?????????∴当m??1时,MP?MQ?0.

2当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,?3)及M(?1,0)知结论也成立,

?????????综上,存在m??1,使得MP?MQ?0.

1是双曲线的右准线, 2111由双曲线定义得:|PA|?|PF2|?|PF2|,|QB|?|QF2|,

e22(ii)∵a?1,c?2,∴直线x?1?k2|x2?x1|1?k2|x2?x1||PQ|方法一:∴?? ??2|AB|2|y2?y1|2|k(x2?x1)|1?k211??1?2.

2|k|2k∵k?3,∴0?21113????,∴ k2323注意到直线的斜率不存在时,|PQ|?|AB|,此时??综上,???,1, 2?13??. ??23?方法二:设直线PQ的倾斜角为?,由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点,∴

?3???2?,过Q 3

章丘一中王希刚

作QC?PA,垂足为C,则?PQC?|∴???2??|,

|PQ||PQ|??2|AB|2|CQ|12cos(??)2??1

2sin?由

?3???2?3,得?sin??1, 32?13?故:???,?? 23??