广东省2013届高三最新数学（文）分类汇编：圆锥曲线

章丘一中王希刚

uuuruuur由PF1?PF2最小值为0得1?c2?0?c?1?a2?2, x2∴椭圆C的方程为?y2?1

2(2)把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k)x?4mkx?2m?2?0 ∵直线l1与椭圆C相切,∴??16km?4(1?2k)(2m?2)?0,化简得

2222222m2?1?2k2

同理可得:n2?1?2k2

∴m2?n2,若m?n,则l1,l2重合,不合题意,

∴m??n,即m?n?0------------------------------- (3)设在x轴上存在点B(t,0),点B到直线l1,l2的距离之积为1,则

|kt?m||kt?m|??1,即|k2t2?m2|?k2?1,-------------------------- k2?1k2?1把1?2k2?m2代入并去绝对值整理,

k2(t2?3)?2或者k2(t2?1)?0

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k?R恒成立 则t2?1?0,解得t??1;

综上所述,满足题意的定点B存在,其坐标为(?1,0)或(1,0)

31.

(2)解:∵?P过点F,B,C三点,∴圆心P即在FC的垂直平分线,也在BC的垂直平分线上.FC的

章丘一中王希刚

垂直平分线方程为x?1?c…………① 2∵BC的中点为(,),kBC??b.

1b22∴BC的垂直平分线方程为y?b11?(x?)……② 2b21?cb2?c1?cb2?c,y?,) 由①②得:x?,即圆心P(22b22b1?cb2?c??0?(1?b)(b?c)?0 ∵P在直线x?y?0上,∴22b222∵1?b?0,∴b?c,由b?1?c,得b?1 2∴椭圆的方程为x2?2y2?1

x2y232.解 (1)设椭圆方程为2?2?1(a?b?0), 则b?1

ab令右焦点F(c,0)(c?0), 则由条件得3?|c?0?22|2,得c?2 x2?y2?1 那么a?b?c?3,∴椭圆方程为3222(2)若直线l斜率不存在时,直线l即为y轴,此时M,N为椭圆的上下顶点,

BN?0,BM?2,不满足条件;

3x2?y2?1联立, 故可设直线l:y?kx?(k?0),与椭圆

23消去y得: 1?3k2?2?x2?9kx?215?0 45152k??0,得 ?1249k由韦达定理得x1?x2?? 21?3k由???9k??41?3k??9k2?3 而y1?y2?k(x1?x2)?3??21?3k

章丘一中王希刚

设M(x1,y1),N(x2,y2)的中点P(x0,y0),则x0?由BN?BM,则有BP?MN.

x1?x2y?y2,y0?1 22kBPy1?y29k2?5?1?2y0?111?3k2?????

x1?x29kx0k?1?3k2222 3252检验k??(,??)

312可求得k?所以直线方程为y?6363x?或y??x? 323233. (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的

数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

x2y2(1) 解法1:设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?,

ab?22322??a?16,?2?2?1,依题意: ?a解得: ?2 b??b?12.?a2?b2?4.?x2y2??1. ∴ 椭圆C1的方程为

1612x2y2解法2:设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?,

aba?4, 根据椭圆的定义得2a?AF1?AF2?8,即

∵c?2, ∴b?a?c?12

222x2y2??1 ∴ 椭圆C1的方程为

1612(2)解法1:设点B(x1,121212x1),C(x2,x2),则BC?(x2?x1,(x2?x12)), 444BA?(2?x1,3?12x1), 4∵A,B,C三点共线,

章丘一中王希刚

????????∴BC//BA

∴x2?x1?3?????12?12x1??x2?x124?4???2?x?,

1化简得:2(x1?x2)?x1x2?12. ① 由x2?4y,即y?112x,得y??x 4212x1x1?(x?x1), 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?即y?x11x?x12. ② 24x212x?x2. ③ 24同理,抛物线C2在点C处的切线l2的方程为 y?设点P(x,y),由②③得:

x1x112x?x12?2x?x2, 2424而x1?x2,则 x?代入②得 y?1(x1?x2) 21x1x2, 4则2x?x1?x2,4y?x1x2代入 ① 得 4x?4y?12,即点P的轨迹方程为

y?x?3

P在椭圆C1上,而点P又在直线y?x?3上, 若PF1?PF2?AF1?AF2 ,则点

∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0), ∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点

P有两个 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点

解法2:设点B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0), 由x2?4y,即y?112x,得y??x 42