北京2018各区二模立体几何汇编

A1(0,0,3b)，B(a,0,0)．

????????所以 AA1?(0,b,3b)，DB?(a,0,0)．

…………………7分

????????所以 AA1?DB?0?a?b?0?3b?0?0，

所以 AA1?BD． …………………9分

?????????????（Ⅲ）解：因为 E(0,b,3b)， 所以 DB1?DE?DB?(a,b,3b)，即B1(a,b,3b)．

????因为 C(0,b,0)，所以 CB1?(a,0,3b)． …………………10分 ?设平面ABB1A1的法向量为 n=(x,y,z)，

???????by?3bz?0??n?AA1?0因为 ?????，即， ?????ax?by?0?n?AB?0令

z=a，则y??3a，x?3b，

?所以 n?(3b,?3a,a)． …………………12分

??????????|n?CB1|23ab因为 |cos?n,CB1?|???????

22222|n||CB1|3b?3a?a?a?3b所以

23ab4a2?3b2a2?3b2=214224，即 4a?13ab?9b?0， 7所以 a=b或2a?3b，即

【昌平二模】 17．（本小题14分）

ACAC4=2或=． …………………14分 BDBD3?如图1，在边长为2的菱形ABCD中，?BAD?60，DE?AB于点E，将?ADE沿DE折起到?A1D?BE，如图2． 1DE的位置，使A A E 图1

B E

图2

B D C

A1

D C

（I）求证：A1E?平面BCDE； （II）求二面角E?A1D?B的余弦值；

（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP?平面A1BD？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 17．（共14分）

证明：（I）因为DE?AB，

所以BE?DE．又因为BE?A1D，DE?A1D?D, 所以BE?平面A1DE． 因为A1E?平面A1DE， 所以A1E?BE．

又因为A1E?DE,BE?DE?E,

所以A1E?平面BCDE．--------------------5分 （II）因为A1E?平面BCDE，BE?DE，

所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，

z A1 D y C B x BP的BDD(0,3,0)，A1(0,0,1)．

E ????????所以BA,0,1),BD?(?1,3,0)． 1?(?1设平面A1BD的法向量n?(x,y,z)，

???????n?BA1??x?z?0?x?z由????，得? ?x?3y????n?BD??x?3y?0令y?1，得n?(3,1,3)．

uurBE?因为平面A,0,0)， 1DE，所以平面A1DE的法向量EB?(1????????n?EB所以cosn,EB??????n?EB因为所求二面角为锐角，

321． ?77所以二面角E?A1D?B的余弦值为

21． -------------------10分 7（III）假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP?平面A1BD．

????????设P(x,y,z)，BP??BD(0???1)，则(x?1,y,z)??(?1,3,0)．

所以P(1??,3?,0)．

????????所以EA1?(0,0,1)，EP?(1??,3?,0)．

设平面A1EP的法向量m?(x,y,z)，

???????m?EA1?z?0?z?0由????，得? ????(1??)x??3?y，?m?EP?(1??)x?3?y?0令x?3?，得m?(3?,??1,0)．

因为平面A1EP?平面A1BD， 所以m?n?3????1?0，解得??1??0,1?， 4BP1?． BD4所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP?平面A1BD，且

--------------------14分

【顺义二模】

17.（本小题满分14分）

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长和底面边长均为1，

D是BC的中点．

（Ⅰ）求证：

A1B∥平面ADC1；

（Ⅱ）求A1A与平面ADC1 所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使CE?平面ADC1？若存

在，求

A1E的值，若不存在，说明理由． A1B117. （Ⅰ）连结A1C交AC1于点O，连结OD ?A1C交AC1于点O ?O是A1C的中点

又?D是BC的中点 ?OD是?A1BC的一条中位线

?A1B∥OD 又?OD?平面ADC1

?A1B∥平面ADC1…………………….4分

（Ⅱ）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，?113C（-，0，1），0），C（?，0，0） 1222?13（-，0，1）C=在平面ADC1中，DA=（0，?，0），D122

??3?????y?0???m?DA=0?2,,)为平面ADC1的一个法向量，则有???设m=(ｘｙｚ，即?

??1x?z?0??m?DC1=0??2