随机过程2012B卷及答案

n4. 一维对称流动随机过程Yn,Y0?0,Yn?p(xk??1)?p(xk?1)?12?Xk?1k,Xk具有的概率分布为

，且X1,X2,... 是相互独立的。试求Y1与Y2的概率分布

及其联合概率分布。

5. 设到达某图书馆的读者组成一泊松流，平均每30min到达10位。假定每位读者借书的概率为，且与其它读者是否借书相互独立，若令{Y(t),t?0}是借书读

31者流，试求：

（1）在[0,t) (t?0)内到达图书馆的读者数N(t)的概率分布； （2）平均到达图书馆的读者人数； （3）借书读者数Y(t)的概率分布。

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?2?x?y,0?x?1,0?y?1?0,其他6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=?试求 p{x<3y}

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河北科技大学2012——2013 学年第一学期

《应用随机过程》试卷（B′）答案

一．概念简答题（每题5分，共40分） 1. 写出ARMA（p,q）模型的定义

答: 自回归移动平均ARMA(p,q)模型为

Xt??1Xt?1??2Xt?2????pXt?p??1?t?1??2?t?2????q?t?q，其中，p和q 是模型

的自回归阶数和移动平均阶数；?,?是不为0的待定系数；?t是独立的误差项；

Xt是平稳、正态、零均值的时间序列。

2．写出卡尔曼滤波的算法公式

答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)…(1)

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2)

X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…(5)

3一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为,,，彼此如何订阅是相互独立的，

236111每订阅一年，店主即获利5元，设Y(t)是[0,t)时段内，店主从订阅中所获得总收入。试求：

（1）E[Y(t)]（即[0,t)时段内总收入的平均收入）； （2）D[Y(t)]

答：设X(n)为店主从第n个订阅者处的收入，则

X(n) 5 10 15 1/2 1/3 1/6 N(t)2P 且X(n)相互独立，E[X(n)]?50/6,E[X(n)]?500/6，则总收入为Y(t)?由于Y(t)是复合泊松过程，故E[Y(t)]?50t,D[Y(t)]?500t 4已知平稳过程X(t)的功率谱密度为SX(w)?

?n?1X(n)

w?4w?10w?9422，试求其自相关函数

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RX(?)。

答：因为SX(w)?w?4w?10w?9422?5/8w?912?3/8w?1iw?2

dw?548e?3|?|故有维纳—辛钦公式得RX(?)?2??????SX(w)e?316e?|?|

5. 设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。

答：因为维修次数与使用时间有关，故此过程是非齐次泊松过程，强度函数为

?(t)???1/2.5?1/20?t?55?t?10

则在使用期限内平均维修次数为m(10)??100?(t)dt??5012.5dt??10512dt?4.5

故在使用期限内只维修过一次的概率为P{N(10)?N(0)?1}?0.05

ddt6．设X(t)为二阶矩过程，RX(t1,t2)?eRY(t1,t2)。

?(t1?t2)2，若Y(t)?X(t)?X(t)，试求

答：

RY(t1,t2)?E[Y(t1)Y(t2)]?E[(X(t1)??E[X(t1)X(t2)?X(t2)?[3?4(t1?t2)]e2?(t1?t2)2ddt1X(t1))(X(t2)?ddt2X(t2)?ddt1ddt2X(t2))]ddt2X(t2)]

ddt1X(t1)?X(t1)X(t1)7．随机过程{X(t)?A?(t),t?T,A?N(?,?2)}是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。

答：由于X(t)?A?(t),t?T,A?N(?,?2),?t1?t2??tn?T，对任意常数a1,?an，

nn线性组合?aiX(ti)?(?ai?(ti))A服从一维正态分布，故(X(t1),?,X(tn))服从n

i?1i?1维正态分布，所以X(t)为正态过程。

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