2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题相似的经典综合题

2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题相似的经典综合题

一、相似

1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解： ∴ 代入 解得

，得

∴抛物线对应二次函数的表达式为：

（2）解：如图，

设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作

由

∴ ∴ ∴

为等腰直角三角形．

点 ．

得对称轴为直线x=1，

∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴ 在 ∴ ∴ 整理，得 解得，

∴点P的坐标为

中，

为等腰三角形．

或 ∽

．

（3）解：存在点M，使得 如图，连结

∵ ∴ ∴

由（2）可知， ∴ ∴ 当 ∴ ∴

时， ，解得

．

分两种情况．

为等腰直角三角形，

∴ 当 ∴ ∴ ∴

时，

，解得

或

综上，点M的坐标为

【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；

（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：求解。

或

，根据所得比例式即可

2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.

（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长； （2）求证：FQ=BQ 【答案】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ 连接 ,

.

，

均为半圆切线，

≌

，

则 ∴四边形 ∵

∴DQ∥ ，

均为半圆切线，

为平行四边形 ∴

∽

，

，

∴ ∥ ， ∴四边形

，

为菱形，

（2）证明：易得 ∴ = ， ∴ ∵ ∴ 过 点作

. 是半圆的切线，

. 于点 ，

则 在 ∴ 解得： ∴ ∴

， . 中，

， ，

【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，