2017年扬州市高三数学一模试卷（3月）答案

?3?2l，x???22 将直线?（l为参数）化为普通方程为x?y?3?0， …… 6分

2?y?2l?219?y2?8x，??x?2，??x?2，? 由?得，?或? 3x?y??0????y?2?y?6.?2 所以AB的长为

?9?122?2??6?2??42． …… 10分

2D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

?1?1≥xy?yz?zx． 设x，y，z均为正实数，且xyz?1，求证：133xyyzz3x证明：因为x，y，z均为正实数，且xyz?1，

?xy≥2?2yz，1?yz≥2?2xz，1?xz≥2?2xy． …… 8分 所以1333xyzxyyzzx?1?1≥xy?yz?zx． …… 10分 所以133xyyzz3x

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ．．．．．．． 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；

（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望． 解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，

则事件A的对立事件A为：“没有1首原创新曲被演唱”．

4C5 所以P(A)?1?PA?1?4?13．

C814?? 答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为13． …… 4分

14 （2）设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0，1，2，3． 依题意，X?ax?2a?4?x?，故X的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．

4C5 则P(X?8a)?P(x?0)?4?1，

C814数学学科参考答案及评分建议 第13页（共15页）

3C13C5 P(X?7a)?P(x?1)?4?3，

7C822C3C P(X?6a)?P(x?2)?45?3，

7C81C33C5 P(X?5a)?P(x?3)?4?1．

14C8从而X的概率分布为：

X 8a 7a 6a 5a

1 3 3 1 P 14 7 7 14 …… 8分

所以X的数学期望E?X??8a?1?7a?3?6a?3?5a?1?91a．…… 10分

14771414

23．（本小题满分10分）

a2，???，an?经m次变换后得到数组bm，1，n?N*．有序数组?a1， 设n≥2，bm，2，???，bm，n，

其中b1，i?ai?ai?1，bm，i?bm?1，i?bm?1，i?1（i?1，2，???，n），an?1?a1，bm?1，n?1?bm?1，1(m≥2)．

??2，3?经1次变换后得到数组?1?2，2?3，3?1?，即?3，5，4?；经第 例如：有序数组?1，9，7?． 2次变换后得到数组?8， （1）若ai?i (i?1，2，???，n)，求b3，5的值；

j （2）求证：bm，i??ai?jCm，其中i?1，2，???，n．

j?0m （注：当i?j?kn?t时，k?N*，t?1，2，???，n，则ai?j?at．） 2，3，4，5，6，7，8，???，n? 解：（1）依题意，?1，57，9，11，13，15，???，n?1?， 经1次变换为：?3，，12，16，20，24，28，???，n?4?， 经2次变换为：?8，28，36，44，52，???，n?12?， 经3次变换为：?20， 所以b3，5?52． …… 3分

j （2）下面用数学归纳法证明对m?N，bm，i??ai?jCm，其中i?1，2，???，n．

*mj?0数学学科参考答案及评分建议 第14页（共15页）

（i）当m?1时，b1，i?ai?ai?1??ai?jC1j，其中i?1，2，???，n，结论成立；

j?0k1 （ii）假设m?k (k?N)时，bk，i?*?ai?jCkj，其中i?1，2，???，n． …… 5分

j?0 则m?k?1时，bk?1，i?bk，i?bk，i?1

kk ??aji?jCk?j?0?aji?j?1Ck

j?0kk?1 ??aji?jCk?j?0?aj?1i?jCk

j?1k ?a0j?1kiCk??aji?j?Ck?Ck??ai?k?1Ck

j?1k ?aiC0??ajCk?1k?1i?jCk?1?ai?k?1k?1 j?1k?1 ??aji?Cj?k1，

j?0 所以结论对m?k?1时也成立．

由（i）（ii）知，m?N*m，bjm，i??ai?jCm，其中i?1，2，???，n．j?0数学学科参考答案及评分建议 第15页（共15页）

…… 10分