当前位置:首页 > 高考数学(理)大一轮复习顶层设计教师用书:第六章 不等式、推理与证明 第六节 直接证明与间接证明 Word版
第六节 直接证明与间接证明 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 命题角度 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点; 2.了解反证法的思考过程和特点。 2015,全国卷Ⅰ,18,6分(直接证明) 直接证明与间接证明常以函数、不等2015,江苏卷,23,10分(反证法) 2014,山东卷,4,5分(反证法) 式、数列、解析几何等为背景考查,题型以解答题为主。 微知识 小题练
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1.直接证明
内容 综合法 分析法 利用已知条件和某些数学定义、公理、从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,定义 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立 实质 框图 表示 文字 语言 2.间接证明 由因导果 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 执果索因 P?Q1→Q1?Q2→ …→Qn?Q 因为…所以… 或由…得… Q?P1→P1?P2→ …→得到一个明显成立的条件 要证…只需证…即证… 反证法:假设命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾。因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
微点提醒
1.分析法是执果索因,实际上是寻找使结论成立的充分条件;综合法是由因导果,就是寻找已知的必要条件。
2.综合法和分析法都是直接证明的方法,反证法是间接证明的方法。
3.用反证法证题时,首先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的情况。然后推出矛盾,矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾。
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一 、走进教材
1.(选修2-2P89练习T2改编)若P=a+6+a+7,Q=a+8+a+5(a≥0),则P,Q的大小关系是( )
A.P>QB.P=Q C.P 【解析】 假设P>Q,只需P>Q,即2a+13+22 2 2 a+a+>2a+13+ a+a+,只需a+13a+42>a+13a+40。因为42>40成立,所以P>Q成立。故 22 选A。 【答案】 A 2.(选修2-2P90例5改编)用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( ) A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除 C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除 【解析】 “a,b至少有一个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”。故选B。 【答案】 B 二、双基查验 1.用分析法证明:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的( ) A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】 由题意可知,应有②?①,故①是②的必要条件。故选B。 【答案】 B 2.如果aa+bb>ab+ba,则实数a,b应满足的条件是( ) A.a>b>0 B.a C.a>bD.a≥0,b≥0,且a≠b 【解析】∵(aa+bb)-(ab+ba)=(a-b)(a-b)>0,∴a≥0,b≥0,且a≠b。故选D。 【答案】 D 111 3.设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数( ) bcaA.都大于2B.都小于2 C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 ?1??1??1?【解析】 因为?a+?+?b+?+?c+? ? b?? c?? a? ?1??1??1?=?a+?+?b+?+?c+?≥6, ? a?? b?? c? 当且仅当a=b=c时取等号, 所以三个数中至少有一个不小于2。故选D。 【答案】 D 4.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,则∠A=∠B=90°不成立; ②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°。 正确顺序的序号排列为________。 【解析】 由反证法证明的步骤知,先反设,即③,再推出矛盾,即①,最后作出判断,肯定结论,即②,顺序应为③①②。故填③①②。 【答案】③①② 5.命题“a,b是实数,若|a+1|+(b+1)=0,则a=b=-1”,用反证法证明时应假设________。 【解析】a=b=-1表示a=-1且b=-1,故其否定是a≠-1,或b≠-1。故填a≠-1,或b≠-1。 【答案】a≠-1,或b≠-1 微考点 大课堂 考点一 分析法 2 【典例1】 已知函数f(x)=3-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有≥f? xfx1+fx2 2 ?x1+x2?。 ??2? 【证明】 要证明 fx1+fx2 2 ≥f? ?x1+x2?,即证明 ??2? x1+x2 2 , x1-2x1+ 2 因此只要证明 x2-2x2 ≥3x1+x2 2 -2· 3x1+3x2x1+x2 -(x1+x2)≥3-(x1+x2), 223x1+3x2x1+x2即证明≥3, 22 3x1+3x2 因此只要证明≥3x1·3x2, 2由于x1,x2∈R,所以3x1>0,3x2>0, 3x1+3x2 由基本不等式知≥3x1·3x2显然成立,故原结论成立。 2 反思归纳 分析法的证明思路:先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。 【变式训练】 已知a>0,求证: 【证明】 要证 只要证 ∵a>0, 故只要证?12 即a+2+4 1 112 a+2-2≥a+-2。 aa112 a+2-2≥a+-2, aaa2+2+2≥a++2。 aa1 ???2?1?2 a+2+2?≥?a+a+2?, a??? 2 1 aa2+2+4≥a2+2+2+22?a+?+2, aa?a?a2+2≥2?a+?, a?a? 1 11 ? 1?从而只要证2 ? 1?1?1?21??22 只要证4?a+2?≥2?a+2+2?,即a+2≥2, aa???? a而上述不等式显然成立,故原不等式成立。
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