江苏13市中考数学试题分类解析汇编 专题 ：押轴题

?a2aa?a2=2?(x)2?()?4a， )?2x??2x??=2(x?xxxx??所以，当x?aa=0，即x?a时，函数y?2(x?)(x＞0)的最小值为4a。 xx5.（南通14分）如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y?m?x>0? x交于点B(2，1)．过点P(p，p－1)( p＞1)作x轴的平行线分别交双曲

线y?mm?x>0?和y???x<0?于点M、N． xx(1)求m的值和直线l的解析式；

(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

(3)是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说

明理由．

【答案】解：(1)由点B(2，1)在y?mm上，有2＝，即m＝2。 x1 设直线l的解析式为y?kx?b，由点A(1，0)，点B(2，1)在y?kx?b上，得

?k?b?0 ?，解之，得k?1，b=?1。

2k?b?1? ∴所求 直线l的解析式为 y?x?1。 (2)Q点P(p，p－1)在直线y＝2上，

∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。

∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。

22 ∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝2?2?8?22，

BP＝12?12?2

∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA， ∴△PMB∽△PNA。

(3)S△AMN＝??1?1??2?2。下面分情况讨论：

①当1＜p＜3时，延长MP交x轴于Q，见图（2）。

设直线MP为y?kx?b，则有

NPAP??2。 MPBP12??k??2?1?k?b? ，解得 ???p?1?pk?b?b??? 则直线MP为

p?3p?1 。 p?1p?1y?p?3p?1x?。 p?1p?1 当y＝0时，x＝ 则

p?1p?1，即点Q的坐标为（，0）。 3?p3?pS?AMP?S?AMQ?S?APQAPQ1?p?1?1?p?1??p2?4p?3???1??2???1??p?1??， 2?3?p?2?3?p?3?p?p2?4p?33 由2＝4?有2p2?9p?9?0，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。

3?p2 ②当p＝3时，见图（1）S△AMP＝?2?2?2＝S△AMN。不合题意。 ③当p>3时，延长PM交x轴于Q，见图（3）。

此时，S△AMP大于情况②当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。 综上，当p＝

123时，S△AMN＝4S△AMP。 2【考点】反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。 【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y?组可得直线l的解析式。

(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。

(3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。

6.（泰州12分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD

m即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程x的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。

（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。 【答案】解：（1）当∠BAO＝45°时，四边形OAPB为正方形。

∴OA＝OB＝a·cos45°=222a。∴P点坐标为（a，a）。 222 （2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F, 设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n），

∵∠BAO＋∠DAE＝∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠DAE＝∠ABO。 在△AOB和△DEA中，

??AOB??DEA?90? ? ， ∴△AOB≌和△DEA（AAS）。 ??ABO??DAE?AB?AD ? ∴AE＝0B＝n，DE＝OA＝m。 ∴D点坐标为（m＋n，m）。

∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，n） ∴P点坐标为（

m?nm?nm?n,）。∴PF=OF= 。 ∴∠POF=45°。 222 ∴OP平分∠AOB。

即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。

（3）当A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为 α。 则0°≤α＜45° ， h＝PF＝PA·cos α＝

2a·cos α。 2221a ∵0°≤α＜45° ∴＜cos α≤1 ∴a＜h≤

222【考点】正方形的性质, 特殊角三角函数值, 全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质。 【分析】⑴ 根据已知条件, 用特殊角三角函数值可求。

（2）根据已知条件, 假设A点坐标为（m，0）, B点坐标为（0，n）并作DE⊥x轴

于E,

PF ⊥x轴于F, 用全等三角形等知识求出点D、P、E、F的坐标(用m，n表示), 从而证出PF＝OF, 进而

∠POF＝45°.因此得证。

（3）由（2）知∠OPF＝45°，故0°≤∠OPA＜45°，中PF＝PA·cos∠OPA，从而得求。

7.（扬州12分）在△ABC中，∠BAC＝900，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为t秒（t?0）． （1）△PBM与△QNM相似吗？以图１为例说明理由； （2）若∠ABC＝600，AB＝43厘米． ①求动点Q的运动速度；

②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；

（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．

P B

M

图1

C B M 图2（备用图）

C

A

N Q A

N

2＜cos∠OPA≤1, 在Rt△APF2【答案】解：（1）△PBM∽△QNM 。理由如下： 如图1，

∵MQ⊥MP，MN⊥BC ，∴?PMB??PMN?90°，?QMN??PMN?90°。∴?PMB??QMN。

，?QNM??C?90°，∵?PBM??C?90°∴?PBM??QNM。∴△PBM∽△QNM

（2）∵?BAC?90°，?ABC?60°，∴BC?2AB?83cm。

又∵MN垂直平分BC，∴BM?CM?43cm。 ∵?C?30°，∴MN?3CM＝4 cm。 3①设Q点的运动速度为vcm/s．