甘肃省庆阳市2021届新高考数学二模试卷含解析

甘肃省庆阳市2021届新高考数学二模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z?A．－1 【答案】A 【解析】 【分析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】

2i，则z的虚部为（ ） i?1B．?i

C．1

D．i

z?2i2i(i?1)?2?2i???1?i，故z的虚部为?1. i?1(i?1)(i+1)?2故选：A. 【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.

2．己知四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC，?BAD?120?，ΔSAD是等边三角形，且SA?AB?23；若点P在四棱锥S-ABCD的外接球面上运动，记点P到平面ABCD的距离为d，若平面SAD?平面ABCD，则d的最大值为（ ） A．13?1 C．15?1 【答案】A 【解析】 【分析】

根据平面SAD?平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，则球心在过BC的中点E的面的垂线上，又

B．13?2 D．15?2

ΔSAD是等边三角形，所以球心也在过?SAD的外心F面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解

即可. 【详解】 依题意如图所示：

取BC的中点E，则E是等腰梯形ABCD外接圆的圆心， 取F是?SAD的外心，作OE?平面ABCD,OF?平面SAB， 则O是四棱锥S?ABCD的外接球球心，且OF?3,SF?2，

设四棱锥S?ABCD的外接球半径为R，则R2?SF2?OF2?13，而OE?1， 所以dmax?R?OE?13?1， 故选：A. 【点睛】

本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.

log1b的大小关系为（ ）

3．若0?a?b?1，则ab， ba， logba，

aA．a?b?logba?log1b

abaloga?a?b?log1b bC．

abaB．b?a?log1b?logba

aabloga?b?a?log1b bD．

aab【答案】D 【解析】

因为0?a?b?1，所以1?ba?aa?ab?0， 因为logba?logbb?1，0?a?1，所以

abloga?b?a?log1b；故选D. b综上

a1?1,log1b?0.

aa4．已知cos(2019???)???2，则sin(?2?)?（ ）

23A．

7 9B．

5 9C．?5 9D．?7 9【答案】C 【解析】

【分析】

利用诱导公式得cos(2019???)??cos?，sin(【详解】

由cos(2019???)???2?2?)?cos2?，再利用倍角公式，即可得答案.

222可得cos(???)??，∴cos??，

333∴sin(?25?2?)?cos2??2cos2??1?2??1??. 299故选：C. 【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.

5．已知a?0，若对任意m??0,???，关于x的不等式?x?1?e?xax?m?ln?m?1??1（e为自然对e数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）

?e3?e?A．?e,?2??【答案】B 【解析】 【分析】

?e3?e?,??? B．??2??e3?e?C．?0,?

2???e3?e?,??? D．??2?构造函数f?m??m?ln?m?1??1（m?0），求导可得f?m?在0,+?()上单调递增,则

f?m??f?0???1,问题转化为?x?1?ex?g?x???x?1?ex,h?x??axax??1,即?x?1?ex??1至少有2个正整数解,构造函数eeax?1,通过导数研究单调性,由g?0??h(0)可知，要使得g?x??h?x?至少有e2个正整数解,只需g?2??h?2?即可,代入可求得结果. 【详解】

构造函数f?m??m?ln?m?1??1（m?0），则f??m??1?1m?（m?0），所以f?m?在m?1m?1(0,+?)上单调递增，所以f?m??f?0???1，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得

?x?1?ex?axaxx)>0，?1成立，设g?x???x?1?ex，h?x???1，则g??x??xex，当x?0时g￠(eee3?eg?x?单调递增；当x?0时，h?x?单调递增.g?2??h?2?，整理得a?.

2故选:B. 【点睛】

本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.

6．复数z的共轭复数记作z，已知复数z1对应复平面上的点??1,?1?，复数z2:满足z1?z2??2.则z2等于（ ） A．2 【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数z1的几何意义得出复数z1，进而得出z1，由z1?z2??2得出z2??出z2. 【详解】

由于复数z1对应复平面上的点??1,?1?，?z1??1?i，则z1??1?i，

B．2

C．10

D．10

2可计算出z2，由此可计算z12?1?i?22??1?i，因此，z2?12?12?2. Qz1?z2??2，?z2???z11?i?1?i??1?i?故选：A. 【点睛】

本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 7．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则A．4 【答案】D 【解析】 【分析】

设正四面体的棱长为1，取BC的中点为D，连接AD，作正四面体的高为PM，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt?AMN中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】

设正四面体的棱长为1，取BC的中点为D，连接AD， 作正四面体的高为PM，

B．8

C．9

V?（ ） vD．27