例说数学问题立意的探究对高考专题

则100＝1?qn?1 q?100

(n?1)(n?2)21n?1Tn?qq....q12n?1?q1?2?3?......?(n?1)?q?n1???100?1???(n?1)(n?2)2?10n?2an?lgTn?n?2

方法一运用了倒量相乘法这一模式化的方法，方法二运用了等差、等比数列的定义及通项公式，仅从方法层面而言，尽管我们无法评判两种解法孰优孰劣，但是数学问题能够模式化解决这是很多学生愿意而且希望看到的。

（2）bn?tan(n?2)tan(n?3)

?tan?(n?3)?(n?2)??ntan(n?3)?tan(n?2)?1

1?tan(n?3)tan(n?2)Sn??bi?i?1tan(n?3)?tan3?n

tan1本例很多学生不能解决的根本问题是对数学模型应用的意识比较淡化和裂项求和模式化不熟悉，我们应该知道，tan?tan?在高中数学中常常在tan(???),tan(???)中才能见到，因此构造两角和、两角差的正切函数可以说是不二的选择，而在两角和与两角差之间也只能选择两角差的正切，这是裂项求和模式化的需要。从这个角度来分析，解决有关数学问题模式化应当是一个不错的选择，数学问题模式化尽管我们不能过于强调，但是也应当不可或缺，这也是我们为什么重视“双基”的原因之一，从这个意义上说数学建模的意识必须要加强以及必须要强调数学模型的储备是非常必要的。否则以某些数学模型为背景的数学问题我们将难以顺利解决。

﹙三﹚捕捉、提取和加工解题信息是解题活动中最为关键最为基础的环节，也势必会成为数学问题立意的热点，这是我们对数学问题立意探究的方向之三

从信息的来源看，数学的信息主要从以下三个方面获取：存储于数数学问题之中的“双基””，题设和题断

（1）从“双基”中获取的信息主要是以下几个方面 ①相关的数学定义、概念、法则、结论 ②涉及到的数学思想方法 ③题型特征

（2）从题设、题断中提取的信息有：位置信息、数值信息、结构信息，归纳起来就是图形信息和数的信息，为此高三二轮数学复习应当更多地关注解题信息的提取、加工和

利用。

[问题4] （2011年安徽高考题）设x?1,y?1，证明：x?y?111???xy xyxy方法一：x?y?111???xy?xy(x?y)?1?y?x?(xy)2 xyxy上式右式减左式得：y?x?(xy)??(y?x)?y?1?

2???(xy?1)(xy?1)?(x?y)(xy?1)?(xy?1)(xy?x?y?1)?(xy?1)(x?1)(y?1)既然x?1，y?1，所以?xy-1??x-1??y-1??0从而所证的不等式成立

这种解题方法有值得肯定的理由并与命题者以下的立意相一致：

考查了不等式的性质、代数恒等变形的能力和推理论证能力，而且运用的是不等式证明中的通性、通法：作差法

但是，我们总感觉有些不自在和不踏实，因为这道题结构特征那么明显： 特征1：从左边到右边是将x换成

11，y变换成

yx1111?)?? xyxy特征2：在上述特征基础上变换了一下不等式的形式：(x?y)?xy?(结合这两个特征用比较法应当是方法之一，这便有了方法一，但是本例与函数单调性没有关系吗？可以有以下的想法：

令u(x,y)?x?y?11? xy1111u(?)???xy xyxy1?x??x?有?这一条件，尽管我们没有办法解决多元函数单调性问题，但不能不让我们联

1?y??y?想到初等函数单调性，于是有了方法2.

方法2：f(x)?x?y?111???xy xyxyf(x)?1?11??y x2yx211(1?) 2xy?(1?y)??(1?y)(1?1111，函数f(x)?x?y????xy )?0xyxyx2y单调递减，而f(1)?0，所以原不等式成立

从方法2的产生可以看出这种解法与数学问题的结构信息相关联，相信命题者也不会反对有这种立意的说法，因此给如果这种解法“穿靴戴帽”的话，它不仅贯穿了函数的单调性并且有很“浓厚”的函数思想

[问题5] 平面?//?，AB、CD是夹在两平面间的异面线段且互相垂直，｜AB｜＝2 ｜AB｜与平面?所成的角为30°，求｜CD｜的范围。

方法1：过A作CD平行线交平面A与E，则AE//CD过A向平面?引垂线， 是为O。 则∠ABO＝30°设AE＝x ｜OE｜＝

x2?1 ｜BE｜＝x2?4

｜OB｜＝3 所以x?4?2x2?1+3

x?[23.??) 3方法2：用上述方法将CD平移至经过A且交平面?于E处，则AE在过A且与BA垂直的平面r内

平面?与平面r相交于?，?即为E点的轨迹， 过A向平面?引垂线，垂足为O，连续BD并 延长交?与EO，则AEO为CD最小值，在RtABEO

中

23 3｜CD|?[23.??) 3尽管我们不能生硬的说哪种解法更能触及数学问题的本质，更贴近命题者的意图，但仅从图形信息的提取来看方法2比方法1优越了许多。

（四）以数学思想、方法和能力立意的数学问题不仅要注重逻辑推理，更要体会并理解形式化表达背后所蕴涵的思想方法，这是数学问题立意探究中最隐性也是最难以把握的问题，这是对数学问题立意探究的又一方向。

形式化表达是数学的基本特征之一，在数学教学中学习形式化表达是一项基本要求，我们反对只限于形式化的表达，更强调对数学本质的认识，而对数学本质的认识既要面对形式化表达在理解层面上的困难，而更为困难的是运用逻辑推理等方法，挖掘其蕴涵的思想方法，尽管这几年数形结合的思想方法在高考试卷中占有较大的比例，高度概括、抽象且通过形式化表达、逻辑推理要求又比较高的数学命题有所下降，但从2011年安徽高考数学试卷看我们有一个预感，或者夸张地说这是不是一个导向甚至一个拐点，如理科的第18题，在考查等比数列和等差数列，指对数运算基础上突出考查了学生运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力。理科19题，在考查不等式的基本性质，对数函数性质，对数的换底公式等基本知识基础上突出考查了学生恒等变形能力和推理论证能力。尤其是理科20，这是一道应用题，在考查相互独立事件概率计算、离散随机变量及其分布等基本知识基础上，考查了在复杂情境下处理问题的能力，抽象概括能力，合情推理与演绎推理，分类讨论的思想，凸显了对学生综合应用意识和创新意识的考查，这自然让我们联想到1997年全国理科卷第24题：

【问题6】设二次函数f(x) = ax2 +bx+ c (a>0),方程f(x) –x=0的两个根x1 ,x2 1满足0

a

( I ) 当x? (0,x1)时 , 证明x < f(x)

1

(II ) 设函数f(x)的图象关于直线 x= x0对称 ,证明x0< x1 .

2这道题在形式化表达的背后有几个问题学生难以弄清楚； 1

1.已知条件 0

a

2.已知条件中有x2，而在求证中没有x2， x2的作用是什么？如何发挥x2的作用？ 3.研究对象是y?f(x)还是F(x)?f(x)?x？