小学奥数专题157-4排列 题库版

⑷ 男女相间．（6级）

【解析】 ⑴ 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随

8意排，也就是8个元素全排列的问题，有P8?8?7?6?5?4?3?2?1?40320(种)选择．由乘法原

理，共有6?40320?241920(种)排法．

⑵ 甲、乙先排，有P22?2?1?2(种)排法；剩下的7个人随意排，有

72?5040?10080(种)排法． P7?7?6?5?4?3?2?1?5040(种)排法．由乘法原理，共有

⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P22?2?1?2(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有

5P44?4?3?2?1?24(种)和P5?5?4?3?2?1?120(种)排法．

由乘法原理，共有2?24?120?5760(种)排法．

⑷ 先排4名男生，有P44?4?3?2?1?24(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有

524?120?2880(种)排法． P5?5?4?3?2?1?120(种)排法．由乘法原理，一共有

【例 31】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排．（6级）

7【解析】 （1）P（种）． 7?50406（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．P（种）. 6?7206（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×P6=1440(种)．

5（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2?P (种)． 5?24025（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，P（种）. 5?P5?2400（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个

7位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．P（种）. 7?5040（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所

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5以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×P5×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑

特殊情况再去全排列．

【例 32】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、

乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？（6级）

【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿

到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，

33?3?6?54(种)不同的排法． 有P3?3?2?1?6(种)排法．由乘法原理，一共有

【例 33】 书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排．⑴ 如果同类的书不分开，

一共有多少种排法？⑵ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？（6级）

32【解析】 ⑴ 可以分三步来排：先排故事书，有P3?3?2?1?6(种)排法；再排作文选，有P2?2?1?2(种)排

法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先

36?2?1?6?72种排法． 后顺序有P3?3?2?1?6(种)．故由乘法原理，一共有

6⑵ 可以看成3?2?1?6(本)书随意排，一共有P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．

若同类书不分开，共有72种排法；若同类书可以分开，共有720种排法．

【例 34】 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少

种不同的串法？

⑴ 把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位． ⑵ 串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．（4级）

【解析】 ⑴ 可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择；然后把剩下的6盏灯随意排，

6 是一个全排列问题，有P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．

由乘法原理，一共有5?720?3600(种)． ⑵ 先安排第一盏和第四盏灯．第一盏灯不是紫灯，有6种选择；第四盏灯有5种选择；剩下的5盏灯

26?5?20?600(种)． 中随意选出2盏排列，有P5?5?4?20(种)选择．由乘法原理，有

【例 35】 某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第

一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？（4级）

【解析】 某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时

段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意

5安排顺序，有P5?5?4?3?2?1?120(种)选择．

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由乘法原理，一共有4?3?4?120?5760(种)不同的播放节目方案．

【例 36】 从6名运动员中选出4人参加4?100接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种：

⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵ 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．（6级）

【解析】 ⑴ 先确定第一棒和第四棒．第一棒是甲以外的任何一个人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下

的4个人中随意选择2个人跑第二棒和第三棒，有P42?4?3?12种选择．由乘法原理，一共有5?4?12?240(种)参赛方案．

4⑵ 先不考虑甲、乙的特殊要求，从6名运动员中随意选择4人参赛，有P考6?6?5?4?3?360种选择．

3虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应P考虑若乙跑5?5?4?3?60种不同的选择，

第四棒，也对应60种不同的选择，但是，从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况．这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的P42?4?3?12(种)方案，应加上．

综上所述，一共有360?60?2?12?252(种)不同的参赛方案．

【例 37】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：（6级）

⑴ 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵ 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【解析】 ⑴ 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有

7 P种)方法．第二步再排0404个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节 7?7!?7?6?5?4?3?2?1?(5 目全排列的问题，有P44?4!?4?3?2?1?24(种)方法．

根据乘法原理，一共有5040?24?120960(种)方法． ⑵ 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有

6P6?6!?6?5?4?3?2?1?720(种)方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从

47个“×”中选4个来排，一共有P7?7?6?5?4?840(种)方法．

根据乘法原理，一共有720?840?604800(种)方法．

【巩固】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始

和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？（6级） 【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有P44?4?3?2?1?24种排法；其次在

独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，

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233有P3?3?2?6(种)排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法．由乘法原

理，一共有24?6?3?432(种)不同的编排方法．

【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目排好之

后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案．

【例 38】 用2，3，4，5排成四位数：（6级） （1）共有多少个四位数？

（2）无重复数字的四位数有多少个？ （3）无重复数字的四位偶数有多少个？

（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？ （5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？

（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？

3 355，2 444，5 555等． 【解析】 ⑴条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如2 234，依分步计数乘法原理共有4?4?4?4?44（个） ⑵P44?24（个）

⑶个位上只能是2或4，有2P22?12（个）

1⑷所有四位数中，2在3的左边或2在3的右边的数各占一半，共有P44?12（个）

24、5只能在另外的3个位置上排列，有P33?6（个） ⑸2在千位上，只有1种方法，此后3、3⑹法一：5不在十位、个位上，所以5只能在千位上或百位上，有2P3?12（个）

32法二：从P55中减去不合要求的（5在十位上、个位上），有P44?2P． 3?2P2?12（个）

1，2，3，4，5组成没有重复数字的正整数．【巩固】 用数字0，（6级）

⑴能组成多少个五位数？

⑵能组成多少个正整数？ ⑶能组成多少个六位奇数？

⑷能组成我少个能被25整除的四位数？ ⑸能组成多少个比201 345大的数？ ⑹求三位数的和．

【解析】 本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位

置和特殊元素．

（1）因为万位上的数字不能是0，所以万位上的数字的排法有P22种，其余四位上的排法有P54种，

14所以，共可组成P5P5?600个五位数．

（2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有

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