初三第七讲二次函数（二）

第七讲 二次函数y?一．知识梳理：

a2x?b?x的系数讨论c知识点1、二次函数y?ax2?bx?c的性质讨论: 函数 图 象 性 质 （1）a?0时，开口向上； （2）对称轴x??（1）a?0，开口向下； 二次函数y?ax2?bx?c (a、b、c为常数，a?0) a?0 a?0 bb，顶点坐标是（2）对称轴x??，顶点坐标是2a2ab4ac?b2(?,)； 2a4a（3）在对称轴的左侧，即x??b4ac?b2(?,)； 2a4abb时，（3）在对称轴的左侧，即x??，2a2abb在对称轴右侧，当x??时，x?y?，在对称轴的右侧，即x??，x?y?，2a2ax?y?； （4）抛物线有最低点，当x??x?y?； bb时，（4）抛物线有最高点，当x??时，2a2a4ac?b2y有最小值，y最小值?. 4a

4ac?b2y有最大值，y最大值?. 4a2知识点2、二次函数y?ax?bx?c(a?0)图象与a、b、c及b?4ac的符号之间的关系.

2（1）．二次项系数a决定抛物线的开口方向．

a?0?开口向上；a?0?开口向下． （2）．抛物线的对称轴是x??b． 2ab?0?抛物线的对称轴是y轴；

ab?（0a、b同号）?抛物线的对称轴在y轴的左侧；

ab?0(a、b异号）?抛物线的对称轴在y轴的右侧．可简记为“左同右异”．

1

（3）．c是抛物线与y轴交点的纵坐标．

c?0?抛物线经过原点；

c?0?抛物线与y轴交于正半轴； c?0?抛物线与y轴交于负半轴．

?b?（4）．?24ac确定抛物线与x轴交点．

抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交，交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根 ??0?一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则抛物线与x轴有两个交点；（设与x轴两交点分别为A、B，则有|AB|??） |a|??0?一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线与x轴有一个交点； ??0?一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线与x轴没有交点．

二、精典题型剖析：

考点一、由抛物线的位置确定a、b、c的符号（或关系）

例1（西安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的

关系判断正确的是（ ）

（A）ab<0 （B）bc<0 （C）a+b+c>0 （D）a－b+c<0

y

O x

（图1）

（图2）

222a?b、a?b?c、b?4ac、2 二次函数y?ax?bx?c的图象如图2所示，则abc、

a?b?c这5个代数式中，值为正数的有哪些？

3（日照）己知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a?b?c?0

（2）方程ax?bx?c?0两根之和大于零 （3）y随x的增大而增大

（4）一次函数y?x?bc的图象一定不过第二象限， 其中正确的个数是（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

2

2y O 1 x 图3

y 练习1．抛物线y?ax?bx?c的图象如图，则下列关系式中成立的是 . 2A. abc?0

2

B. a?b?c?0 D. 2a?b?0

－1 O 2C. a?ab?ac

x 1 练习2、二次函数y?ax?bx?c的图象的 顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m,0)和 点B，且m?4，则AB的长是（ ） A. 4?m B. m C. 2m?8 D. 8?2m

练习3．函数y?ax?b与y?ax2?bx?c的图象如图所示：则正确的是 . A. ab?0,c?0 B. ab?0,c?0

C.ab?0,c?0D.ab?0,c?0

考点二、由系数符号判定抛物线的位置

例4（宁夏）已知a?0，b?0，c?0，那么抛物线y?ax2?bx?c的顶点在（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

练习．若a?0,b?0,c?0,b2?4ac?0，则抛物线y?ax2?bx?c不经过第 象限. 考点三、一元二次方程的根与抛物线之间的关系 例5.（2011绵阳）．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）= 1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）

A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2 练习1. （2011兰州）关于x的方程a(x?m)?b?0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x?m?2)?b?0的解是 。

练习2．已知抛物线y?2x?mx?6与x轴两交点间的线段长为4，则m的值是 。 练习3. 若二次函数y=(m+2)x2﹣x+

2221的值永远为正，则m_______ 42练习4．（2012泰安）二次函数y?ax?bx的图象如图，若一元 二次方程ax?bx?m?0有实数根，则m 的最大值为（ ） A．?3 B．3 C．?6 D．9 考点四、二次函数的增减性：

例6．如图，抛物线的顶点坐标是P（1，3）， 则函数y随自变量x的增大而减小的x的 取值范围是（ ） A. x>3

B. x<3

C. x>1 D. x<1

2 3

练习1．（2012泰安）设A(?2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y??(x?1)2?a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）

A．y1?y2?y3 B．y1?y3?y2 C．y3?y2?y1 D．y3?y1?y2 练习2．已知二次函数y??12mx?3mx?n，(m?0)设自变量x的值分别为x1，x2，x3， 2C. y2>y3>y1

D.y1?y3?y2

且－3

A.y1?y2?y3 三、能力提升：

1．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①y = ax2；②y = bx2；

③y = cx2； ④y = dx2．则a、b、c、d的大小关系为（ ） A. a>b>c>d B. a>b>d>c C. b>a>c>d D. b>a>d>c

2．（2012?乐山）二次函数y=ax+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（ ）

A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1

2

3．（2012?德阳）设二次函数y=x+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）

A c=3 B c≥3 C 1≤c≤3 D c≤3

2

4．（2012潜江）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，它与x轴 的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0； ②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）

A 3个 B 2个 C 1个 D 0个

5．（2012杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．

（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

2

2

B. y1

4

作业

1．已知二次函数y?x2?(2a?1)x?a2?1的最小值为0，则a的值为 . 2.（2007南充）如图是二次函数y?ax2?bx?c图象的一部分， 图象过点A??3,0?，对称轴为x??1。给出四个结论：①b＞4ac；

2②2a?b?0；③a?b?c?0；④5a＜b。其中正确结论是（ ） A、②④ B、①④ C、②③ D、①③ （2）（天津市）已知二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象如图

（3）所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a?c；③4a?2b?c＞0；④2c＜3b； ⑤a?b＞m?am?b?m?1的实数，其中正确的结论有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 第二部分：

3．已知抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个交点，且交点为A(2,0). （1）求b、c的值;

（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长. （答案可带根号）

第三部分：

3．已知抛物线y?x2?(2m?4)x?m2?10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点. （1）求顶点C的坐标（用含m的代数式表示） （2）若AB的长为22，求抛物线的解析式

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