必修5第三章《不等式》全章教案

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab?a?b2

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a?b?2ab， 通常我们把上式写作：ab?a?b2(a>0,b>0)

a?b2 2）从不等式的性质推导基本不等式ab?用分析法证明：

要证

a?b2

?ab (1)

只要证 a+b? (2) 要证（2），只要证 a+b- ?0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式ab?a?b2的几何意义

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab?何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为

a?b2a?b2的几

，显然，它大于或等于CD，即

a?b2?ab，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab?评述：1.如果把

a?b2a?b2几何意义是“半径不小于半弦”

看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以

叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称

a?b2为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述

为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题]

例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)

yx?xy≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

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分析：在运用定理：

a?b2?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质

成立的条件)，进行变形.

解：∵x，y都是正数 ∴

xy＞0，

yx＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0

(1)

xy?yx?2xy?yx＝2即

xy?yx≥2.

(2)x＋y≥2xy＞0 x＋y≥2x2y2＞0 x＋y≥2

2

2

3

3xy＞0

332233

∴（x＋y）（x＋y）（x＋y）≥2xy·2x2y2·2xy＝８xy

3333

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.

3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2ab＞0

a?b2?ab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（及它们的关系（

a?b2a?b2），几何平均数（ab）

≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是

正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤

a?b222，ab≤（

a?b2）.

2

5.评价设计 课本第113页习题[A]组的第1题 【板书设计】

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【授后记】

第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）

课题: §3.4基本不等式ab?第2课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式ab?简单的实际问题

2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式ab?最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 基本不等式ab?【教学难点】 利用基本不等式ab?【教学过程】

a?b2a?b2a?b2a?b2a?b2

；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些

，并会用此定理求某些函数的

的应用

求最大值、最小值。

1.课题导入 1．重要不等式：

如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 2．基本不等式：如果a,b是正数，那么??我们称

a?b2为a,b的算术平均数，称

a?b2?ab(当且仅当a?b时取\?\号).

22ab为a,b的几何平均数?

a2?b2?2ab和a?b2?ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正

数。

2.讲授新课 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

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（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由

x?y2?xy，

可得 x?y?2100， 2(x?y)?40。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜

121212，其面积S＝x（36－

2x）＝·2x（36－2x）≤

(2x?36?2x2)?23682

当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2。由

xy?x?y2?182?9，可得 xy?81

当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M42，等号当且仅当a＝b时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

l?240000?720(x?1600x)

?240000?720?2x?1600x

?240000?720?2?40?297600当x?1600x,即x?40时,l有最小值2976000.

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