高等代数线性方程组练习题

第三章 线性方程组练习题

一、 填空题

1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r，则增广矩阵的秩取值可能为__________. 2. 非齐次线性方程组??x1?x2??xn?a有解的充要条件是__________.

?2x1?2x2??2xn?b3. 齐次线性方程组x1?x2?x3?x4?0的基础解系是____________________. 4. 若矩阵A中有一个r级子式不为零，则R(A)__________.

5. 已知向量组?1?(1,4,3),?2?(2,k,?1),?3?(?2,3,1)线性相关，则参数k?__________.

?a11x1?a12x2??ax?ax??2112226. 齐次线性方程组????an1x1?an2x2??a1nxn?0?a2nxn?0?annxn?0 （*）只有零解的充要条件有 ______________________________________________________ _（至少写两个）.

7.非齐次线性方程组AZ?b（A为m?n矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

8. n?1个n维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

9.设向量组?1,?2,?3线性无关，则常数l,m满足____________时，向量组

l?2??1,m?3??2,?1??3线性无关。

10.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)?n?1则Ax?0 的通解为________。 11.若向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组?2??1,?3??2,?1??3____________。

12.已知四元非齐次线性方程组Ax?b,r(A)?3，?1,?2,?3是它的三个解向量，其中

?1??2?(1,2,0,2)T,?2??3?(1,0,1,3)T，则齐次线性方程组Ax?0的通解为____________-________________________。

??1??1??2??3?13.设向量组?1,?2,?3由向量组?1,?2,?3的线性表示式为??2??1??2??3，则向量组

?????????123?3?1,?2,?3由向量组?1,?2,?3的线性表示式为____________。

14.线性方程组AX?b无解，且r(A)?3,则r(A?b)?____.

1

?a12???A?23115当a?____,b?____时，??的秩为2.

?8b4???

二、 判断题 1. 向量组?1,?2,,?n线性相关且k1?1?k2?2?,ain),i?1,2,?kn?n?0，则k1,k2,,kn不全为零.（ ） ,ain,bi1,bi2,,bim),

2. 如果?i?(ai1,ai2,,s线性相关，则向量组?i?(ai1,ai2,i?1,2,,s也线性相关. （ ）

3. 任意n?3个n维向量必线性相关. ( ) 4. 若向量?1,?2,（ ） 5. 若向量?1,?2,,?s和向量组?1,?2,则向量组?1,?2,,?t都线性无关，,?s,?1,?2,,?t线性无关.

,?s线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（ ）

6. 非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ ）

7. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.（ ）

8. 设?1,?2线性相关，?1,?2也线性相关，则?1??1,?2??2线性相关.（ ）

三、单项选择题 1.已知向量组?1,?2,A. ?1,?2,。 ,?n线性相关，则下列命题中成立的是（ ）

,?n 中至少含有一个零向量；

B.对任意一组不全为零的常数k1,k2,C. ?1,?2,,kn，有k1?1?k2?2??kn?n?0；

,?n中任意一个向量均可由其余m?1个向量线性表示； ,?n）< m。

D.秩（?1,?2,??x1?x2?02．方程组?有非零解，则?的取值为( )。

x??x?02?1A.0 B. ±1 C. 2 D. 任意实数

3．下列向量组中是线性无关向量组的为（ ）。

A.(1, 2), (--3, 0), (5, 1)

B. (1, 1, 0), (0, 0, 3), (2, 2, 0)

C.(2, 6, 0), (3, 9, 0), (0, 0, 2) D. (1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)

?x1?x2?0?4.齐次线性方程组为?x2?x3?0，它的一个基础解系是（ ）。

?x?x?03?1

2

?2??1?????A.?2?,?1? ?2??0??????4??0????? B. ?4?,?1?

?4??1??????1???C. ?1?

?1???

?1???D. ?0?

?1????x1?2x2?x3?4?x2?2x3?25．，方程组?无解，则当k的取值为 （ ）。

?(k?1)(k?2)x?(k?3)(k?4)3?A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6．设向量组?1,?2,?3中是齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系，则下列向量组中也是

Ax?0的一个基础解系的是（ ）。

A. ?1??2,?2??3,?3??1 C. 2?1,?1??2,?1??2

B. ?1??2,?2??3,?1?2?2??3 D. ?1??2,?1??2,?3

7.A为m?n矩阵，秩(A) = m?n，下列结论正确的是（ ）。

A.齐次线性方程组Ax?0只有零解 B. 非齐次线性方程组Ax?b有无穷多解 C) C. A中任一个m阶子式均不等于零 D. A中任意m个列向量必线性无关。 8. ?1,?2,?3是齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系，则也是该方程组的一个基础解系的是（ ）。

A. 可由?1,?2,?3线性表示的向量组； B. 与?1,?2,?3等秩的向量组 C. ?1,?1??2,?1??2??3 D. ?1??2,?2??3,?3??1

9. ?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同解，?是齐次线性方程组AX?0的一个非零解，则（ ）。

A.向量组?1??2,?1线性无关 B. 向量组?1??2,?线性相关

C. Ax?b的通解为?1?k?，其中k为任意数

D. Ax?b的通解为?1?s(?1??2)?t?,其中s,t为任意数

10.A为m?n矩阵，秩 (A) = r，则下列结论中正确的是（ ）。 A. r?n 时，Ax?b 有唯一解； B. m?n 时，Ax?b 有唯一解 ； C. r?n 时，Ax?b 有无穷多解； D. m?n 时，Ax?b有解

3

11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则____________。

A）方程组有无穷多解 B) 方程组无解

C) 方程组有唯一解或无穷多解 D) 方程组可能无解，也可能有无穷多解

三、计算与证明

1. 求向量组?1?(1,0,1,0),?2?(?2,1,3,?7),?3?(3,?1,0,3),?4?(4,?3,1,?3)

的秩和一个极大线性无关组，并把其余的向量用极大线性无关组表出.

??x1?x2?x3???3?2．?取何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2

?x?x??x??23?12有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求其通解. 3. 已知向量组?1,?2,,?m线性无关，令

?1??1??2,?2??2??3,,?m?1??m?1??m,?m??m??1，

讨论向量组?1,?2,,?m的线性相关性.

4. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1,?2,?3是它的三个解向量，且

?1?(2,3,4,5),?2??3?(1,2,3,4).求该方程组的通解.

5. 设向量?1,?2,性无关.

,?n线性无关，且???1??2??a1nxn?0?a2nxn?0?annxn?0??n(n?1)，证明：???1,???2,???n也线

?a11x1?a12x2??ax?ax??2112226. 设齐次线性方程组????an1x1?an2x2? （*）的系数行列式D?0，而D中元素aij的代数

余子式Aij?0.证明：（*）的通解为??k(Ai1,Ai2,,Ain),k?P.

7．设有向量?1?(1?t,1,1),?2?(1,1?t,1),?3?(1,1,1?t),??(0,0,t2)，问t为何值时，

a) ?可由?1,?2,?3 线性表示，且表达式唯一； b) ?可由?1,?2,?3线性表示，且表达式不唯一；

?不可由?1,?2,?3 线性表示。

?(??2)x1?3x2?2x3?0?82．?取何值时，齐次线性方程组??x1?(??8)x2?2x3?0有非零解？并求出一般解.

?2x?14x?(??3)x?023?1

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