2019-2020年高考数学一轮复习专题17同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案文

2019-2020年高考数学一轮复习专题17同角三角函数的基本关系与诱

导公式教学案文

sin α22

1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α；

cos α

π

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公

2式．

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1． sin α

(2)商数关系：＝tan__α．

cos α2．三角函数的诱导公式 公式 角 (k∈Z) 正弦 余弦 正切 口诀 sin α cos α tan α 一 2kπ＋α π＋α －sin__α －cos__α tan__α －α －sin__α cos__α －tan__α π－α sin__α －cos__α －tan__α 二 三 四 五 π－α 22

2

六 π＋α 2Cos__α －sin__α 函数名改变，cos__α sin__α 函数名不变，符号看象限 符号看象限

高频考点一 同角三角函数关系式的应用

5

例1、(1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

13

121255A. B.－ C. D.－ 551212

15π3π

(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )

842A.－3

2

B.

333 C.－ D. 244

32

(3)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( )

464A. 25

4816B. C.1 D. 2525

∴cos α－sin α＝

3

. 2

2

3cosα＋2sin 2α1＋4tan α642

(3)tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝＝＝. 222

4cosα＋sinα1＋tanα25答案 (1)D (2)B (3)A

sin α22

【方法规律】(1)利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝

cos αtan α可以实现角α的弦切互化.

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α，可以知一求二.

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋cosα，sinα＝1－cosα，cosα＝1－sinα. 【变式探究】 (1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A.－1

B.－

22 C. D.1 22

2

2

2

2

2

2

2

1

(2)若3sin α＋cos α＝0，则2的值为( )

cosα＋2sin αcos α10A. 3

5B. 3

2

C. D.－2 3

?sin α－cos α＝2，

解析 (1)由?2

?sinα＋cos2α＝1，

得2cosα＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)＝0，

2

2

∴cos α＝－2. 2

3π3π

又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.

44(2)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－cosα＋sinα1＋tanα＝ 2

cosα＋2sin αcos α1＋2tan α

2

2

2

11，＝23cosα＋2sin αcos α

＝

?1?1＋?－??3?

21－3

210＝. 3

答案 (1)A (2)A

高频考点二 诱导公式的应用

例2、(1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)； (2)求值：

2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）?23π?的

设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f?－?6?3π????22?π

1＋sinα＋cos?＋α?－sin?＋α?

?2??2?值.

（－2sin α）（－cos α）＋cos α

(2)∵f(α)＝ 22

1＋sinα＋sin α－cosα＝

2sin αcos α＋cos αcos α（1＋2sin α）1

＝＝， 2

2sinα＋sin αsin α（1＋2sin α）tan α

?23π?＝∴f?－?6??

＝3.

11

＝＝ 23πππ??tan?－4π＋?tantan?－???6?6?6??

1

【方法规律】(1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.

sin（kπ＋α）cos（kπ＋α）

【变式探究】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是

sin αcos α( )

A.{1，－1，2，－2} C.{2，－2}

B.{－1，1}

D.{1，－1，0，2，－2}

3π??tan（π－α）cos（2π－α）sin?－α＋?2??

(2)化简：＝______.

cos（－α－π）sin（－π－α）

答案 (1)C (2)－1

高频考点三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

3?π??5?例3、(1)已知tan?－α?＝，则tan?π＋α?＝________.

?6?3?6?

π?5π?1?π?(2)已知cos?＋α?＝，且－π<α<－，则cos?－α?等于( ) 2?12?3?12?A.

221

B. 33

1

C.－

3

22

D.－

3