2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学（理）试题（一） - 图文

2016好题精选模拟卷1

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M=｛x丨xx?1≥0，x∈R｝，N=｛y丨y=3x2+1，x∈R｝，则M∩N为（ ） A｛x丨x＞1｝ B｛x丨x≥1｝ C｛x丨x＞1或x≤0｝ D｛x丨0≤x≤1｝ 2. 已知a是实数，i是虚数单位，若a?i1?i是纯实数，则a=( )

A.1 B.?1 C.2 D.?2 3. 已知命题p：存在0≤x≤12π，cos2x+cosx-m=0为真命题,则实数m的取值范围是（ ） A[-98,-1] B[-98,2] C[-1，2] D[-98,+∞] 4.如图，若输入n的值为4，则输出A的值为

11A.3 B.-2 C-3 D2

开始输入ni?1,A?3A?1?AA?Ai?i?1i?n?是否输出A结束 5.函数f（x）=x丨x+a丨+b是奇函数的充要条件为（ ） A ab=0 B a+b=0 C a2+b2=0 D a=b 6.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足=+λ()，λ∈（0，+?)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的（ ） A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心 7.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为600的菱形，则该棱柱的体积等于( ) Ａ2 Ｂ22 Ｃ32 Ｄ42 8.已知函数f（x）=??2?x?（1x＞0）在点（1,2）处的切线与f（x）的切线的图像??-x2-4x?a（x?0）有三个公共点，则a的范围（ ） A[-8，-4+25） B（-4-25，-4+25） C （-4+25，8] D（-4-25，-8] 9.等差数列｛an｝的前n项和为Sn，公差为d，已知（a8+1）3+2013（a8+1）=1， （a2006+1）3+2013（a2006+1）=-1，则下列结论正确的是（ ） A d＜0，S2013=2013 B d＞0，S2013=2013 C d＜0，S2013=-2013 D d＞0，S2013=-2013 10. 某校在高二年级开设选修课其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ） A 72种 B 54种 C 36种 D18种 11.如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面?内，过点O作平面?的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作 平面?成45?角的平面与半球面相交，所得交线上到平面?的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足 ?BOP?60?，则A、P两点间的球面距离为（ ） ABDPαCO A、Rarccos24 B、?R4 C、Rarccos33 D、?R3 x2y212.F是双曲线C：a2-b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近??????线于B，若2AF=FB，则C的离心率为（ ） A 2 B 2 C 233 D 143 第II卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

a??b??13.若平面向量=（1，x）和=（2x+3，-x）互相平行，其中x∈R，则a?b= 14.正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有 种。 15. 设△Aan?cnnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1,2,3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=2，can?bnn+1=2，则?An的最大值为 16.已知双曲线x2y2a2-b2=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点。设直线AC、BC的斜率分别为k21、k2，当k?lnk1?lnk2最小时，双曲线的离心率为 1k2三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB、BC、CA上， 且D为AB的中点。∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°） （1）当tan∠DEF=32时，求θ的大小； （2）求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值． 18.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下： 办理业务所1 2 3 4 5 需时间（分） 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时。 （1） 估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； （2） X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望。 19.已知斜三棱柱ABC?A1B1C1,?BCA?90?,AC?BC?2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1?AC1. (1)求证：AC1?平面A1BC； A(2)求CC1 1到平面A1AB的距离； B1 1 C(3)求二面角A?A1B?C的大小. A D C B 20.设函数f(x)??x3?3x?2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为（x1,f(x1)）、（x2,f(x2)），该平面上动点P满足??PA??????PB??4,点Q是点P关于直线y?2(x?4)的对称点.求 (1)求点A、B的坐标； (2)求动点Q的轨迹方程.

21.已知f?x??xlnx,g?x??x3?ax2?x?2

(1)求函数f?x?的单调区间;(2)求函数f?x?在?t,t?2??t?0?上的最小值; (3)对一切的x??0,???,2f?x??g'?x??2恒成立,求实数a的取值范围. 请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22.选修4-1：几何证明选讲

已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：

(1)C，D，F，E四点共圆； (2)GH2＝GE·GF.

23．选修4-4：极坐标与参数方程 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???6，

（1）写出直线l的参数方程。

（2）设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。

24.选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥2(a>0)． (1)当a＝1时，求此不等式的解集；

(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

2016好题精选模拟卷1答案解析

1. 【答案】A

【解析】集合M的解集为｛x丨x＞1或x≤0｝集合N的解为｛x丨x≥1｝，则M∩N为｛x丨x＞1｝，选A 2. 【答案】A

【解析】本题考查复数的概念和代数运算.

a?i(a?i)(1?i)(a?1)?(a?1)i1?i?(1?i)(1?i)?2， ?a?1由题意知a?i1?i是纯虚数 ?0∴???2，解得a?1.选A. ?a?1??2?03. 【答案】C 【解析】令y=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+14)2-98。 ∵0≤x≤12π ∴cosx∈[0,1] ∴y=cos2x+cosx在0≤x≤12π上是增函数，故ymax=-1，ymin=2 又∵cos2x+cosx-m=0 ∴m= cos2x+cosx ∴m∈[-1，2] ∴选C 4. 【答案】A

1【解析】执行程序框图，第1次运行：A=-2，i=1；第2次运行：A=—3，i=2；

1第3次运行：A=2，i=3；第4次运行：A=3，i=4；结束循环，输出A的值为3．

5. 【答案】C 【解析】∵f（x）为奇函数 ∴f（0）=0 ∴b=0 ∵f（x）为奇函数 ∴f（-a）=-f（a） ∴b=-[a丨2a丨+b] ∴-a丨2a丨=0 ∴a=0 ∴a=0，b=0 ∴充要条件为a2+b2=0 ∴选C 6. 【答案】C ??【解析】 ∵OD?=+λ(),�� ??DP????∴=λ·()�� ∴DP·=λ(-||+||)=0.�� ∴DP⊥BC. ∴P在BC中垂线上 ∴选C 7. 【答案】B 【解析】如图在三棱柱ABC?AB011C1中，设?AA1B1??AAC11?60， 由条件有?C01A1B1?60，作AO?面A1B1C1于点O， 则cos?AAOcos?AA1?1B1cos60013cos?B?0?? 1AO1cos3033∴sin?AAO?63 ∴AO?AA2611?sin?AAO1?3 ∴V1ABC?A1B1AOC1?S?A1B1C1?AO?2?2?2?sin600?263?22 ∴选B 8. 【答案】D 【解析】当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x ∴f′（1）=2×1=2则在点（1，2）处的切线方程为y=2x 当x≤0时，y=f（x）=-x2-4x?a 即（x+2）2+（y-a）2=4（y≥a） yBOxA作出函数图象如右图 随着a减小时，半圆向下移动，当点A（-4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即a=2×（-4）=-8 再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点 即?4?a=25 解得a=-4-25＜-8 ∴a的取值范围是（-4-25，-8]． ∴选D 9. 【答案】C 【解析】令f（x）=x3+2013x 则f（x）为增函数，且为奇函数 ∵由式易得（a8+1）＞（a2006+1） ∴d＜0 ∵a8+1+ a2006+1=0 ∴2a1007=-2 ∴a1007=-1 ∴S2013=2013a1007=-2013 10. 【答案】B 【解析】由题意知有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，需要分类来解，将四名同学分成三组：1，1，2；和2，2两种情况 C1?C1分成1，1，2安排在三个数学班中：有432A33=36； 分成两组2，2．安排在两个班里，有C24?C2222A3=18． ∴一共有36+18=54种安排方案 ∴选B． 11. 【答案】A 【解析】以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则 A(22R,0,22R),P(132R,2R,0) ?COS?AOP?AO?POR2?24??AOP?arccos24?AP??R?arccos24 ∴选A 12. 【答案】C 【解析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y= bax， ??????则另一渐近线OB的方程为 y=-bax 设A（m，bma），B（n，-bna） ∵2AF=FB ∴2（c-m，-bma）=（n-c，-bna） ∴2（c-m）=n-c，-2bmbn33a=-a ∴m=4c，n=2c 3bc∴A（34c，3bc4a4a） 由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，即 3c?b=?1 4?ca∴a2=3b2，∴e=ca2?b223a=a=3 ∴选C． 13. 【答案】2或25 ??【解析】∵a与b平行 ∴2x+3=-x2 ∴解得x=-2或0 ??a??????????∴①a=（1，-2） b=（-1,2） ②=（1，0） b=（3,0） 令a=OA b=OB a???b??OA????OB???????∴==BA ∴BA=2或25 14. 【答案】30 【解析】本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况． 如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；这时最后两个边也有2种情况； 如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；这时最后两个边有3种情况． ∴方法共有3（2×2+2×3）=30种 15. 【答案】?3 【解析】∵ba1?c1，ca1?b111+c1=2a1① b2=22=2∴b2+ c2=2（b1+c1）+a1=2a1 由①②可合理推理得：b3+c3=2a1；b4+c4=2a1……bn+cn=2a1 ABC∴其轨迹为椭圆 ABC当?An最大时，A在短轴顶点处 此时bn+cn=2a1，bn=cn=a1 ∴这是等边三角形 ∴?A?n=3 16. 【答案】3 b2【解析】①当AB与x轴重合时，k1k2=-a2 =y-y1y?y2k1y2-y1b2②∵ACkBCx-x?=22=2 1x?x1x-x1a?22?x1-y122=1∵??ab ∴代入解得y=2?lnk2?x221?lnk2=?lnk1k??a2-yb2=1k21k2k1k2∴设t=k1k2t+lnt ∴求导得y`=-21t-22，则y=t2?t=t2=0时 t=2 ∴经检验单调性，知t=2时取最小值 即kb2b21k2=2 ∵k1k2=a2 ∴a2=2 ∴e=1?b2a2=3 ∴离心率为3 17. 【答案】（1）60° （2） 45° 【解析】（1）DE中，由正弦定理得，在△ADF中，由正弦定理得． yCBOxA