湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案 第三讲 能量和动量

若末节车厢脱钩时关闭油门，则两部分停止时的距离为零，脱钩后牵引力的功为 W=FL=kMgL

W全部用于增大机车向前运动的距离，故由功能关系得

ML

kMgL=K(M-m)△S，得：△S=S1-S2=

M-m

【例4】长为2L的线系住两个相同的小钢球，放在光滑的地板上，在m 图所示的水平恒力，求：

(1)钢球第一次相碰时，在与F垂直的方向上钢球对地的速度。 2L F (2)经若干次碰撞后，最后两球一直处于接触状态下运动，那么因碰撞

m

量是多少？ m 解析：钢球对地的运动是一个曲线运动，细绳对钢球拉力的大小发生变化，因此，用牛顿定律来处理是行不通的，考虑取两个球组成象，易知内力所做的功的代数和为零。 ay T (1)设m沿F的方向运动x长度时，钢球第一次相撞，此时力Fax (x+L)，两球第一次接触时，除有水平方向的速度外，还有绕O点的瞬的vy，由动能定理得：

1

F(L+x)=2?m(vx2+vy2) =mvx2+mvy2

2

对系统，在力F方向上根据牛顿第二定律和运动学关系得： F=2max vx2=2ax?x 联立得：vy=

FL m

和方向都时刻在的系统为研究对的作用点拉过时速度，即所示线中央作用如

而失去的总能

F (2)最后两球一起处于静止状态，因而失了垂直于F方向的速度，故

1

△Ek=2?mvy2 =FL

2

【例5】一质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球顶上，初始时，它们间相对静止，如图所示，现使半球面以加速度a=g/4匀加速向右运动，求物体离开球面时，离半球底面的距离h。

解析：物体沿球面滑下，当物体与半球面之间的相互作用力为零时，物体将要脱离半球面，如在半球面为参考系，物体将要脱离球面时，受重力和惯性力F=ma作用，如图所示，将要脱离时，根据牛顿第二定律有

v2

F mgcos?-Fsin?=m

R

mg 由惯性系中的动能定理得

1

mg(R-h)+FRsin?= mv2

2由几何关系得：cos?=h/R,sin?=联立解得：

153h2-192Rh+55R2=0 h1=0.81R，h2=0.44R

根据物理过程可知，当m位于h2=0.44R时，物体早已脱离半球面的约束了，所以h2是增根，应该舍去。

【例6】一固定的斜面，倾角为?=45o，斜面长为L＝2.00m，在斜面下端有一斜面与垂直的挡板，一

R2-h2 R

质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为0，质点沿斜面下滑到斜面最底端与档板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为? =0.20，试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。(1998年第15届预赛试题)

解析：由于碰撞时无动能损失，故运动过程中只有重力和摩擦力做功。每次碰撞后质点上滑的最大高度都比原来小，如果找出高度递减的规律，即可利用数学知识求出运动的总路程。

质点在斜面上滑动的过程中，受到摩擦力大小为：f=?mgcos? 设质点第一第一次与挡板碰撞时的速率为v1，由动能定理得到

1

mgLsin?-?mgLcos?=mv12 ??①

2

质点与挡板碰撞后以速率v1开始沿斜面上滑，设上滑的最大距离为L1，则有

1

mgLsin?+?mgL1cos?=mv12 ??②

2L1sin?-?cos?2

由①②得： = =

L sin?+?cos?3

L22

同理可得出第二次碰后上滑的最大距离L2与L1的关系是： =

L132

所以，L2=( )2L

3

2

第10次上碰后滑上的最大距离为L10=( )10L

3因此第11碰撞前运动的总距离为 S=L+2L1+2L2+??+2L10

222

=L+2L[( )1+( )2+??+( )10]

333210

-123

=L{1+2[] }=9.86m

32

-13

三、机械能、功能关系 1、势能

由相互作用的物体之间的相对位置或物体内部各部分间相对位置决定的能叫势能。

势能属于一个系统，系统能够具有势能的条件是，系统内存在一种保守力，该力做功只与系统内部物体的相对位置有关，而与物体位置变化的途径无关，故势能总与一种力对应。

如重力对应重力势能，弹力对应弹性势能，分子力对应分子势能，电场力对应电势能等。 2、重力势能

物体由于被举高而具有的能量，叫重力势能。EP=mgh.

EP的大小是相对的，式中h是物体重心离零势面的高度。势能是属于物体和地球所共有。

Mm

引力势能：EP=-G

r

3、弹性势能

1

物体因内部发生弹性形变而具有的势能，叫弹性势能。其表达式为EP=kx2 .

2

4、机械能

系统内各物体的动能和势能的总和叫机械能。是物体由于机械运动而具有的能。它属于一个系统。 5、机械能守恒定律

在只有重力(或弹力)做功的条件下，系统的动能和势能可以互相转换，但总的机械能保持不变。

定律的适用条件是：既没有外力做功又没有耗散内力做功，即只有重力或弹簧的弹力做功。系统可以受别的力，也可以有保守力做功。

6、功能关系

除重力或弹力外别的力(包括外力和耗散力)对系统做的功等于系统机械能的变化量。即对一个物体系而，设外力做的功为W外，内部非保守力做的功为W内非保，那么有

W外+W内非保=?EP+?Ek

功能原理适用于既有外力做功又有内部非保守力做的情况。

【例7】劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块，开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为?，然后加一个水平向右的恒力于木块上。 k F m (1)要保证在任何情况下都能拉动木块，些恒力F不得小于多少？

(2)用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？

解析：设物体的初始位置为x0，在向右的恒力F作用下，物体到达x处速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以根据物体系的功能原理有

11

F(x-x0)-?mg(x-x0)=kx2 - kx02

22

1

F-?mg=k(x+x0)

22(F-?mg)

可得：x=-x0

k

?mg?mg

因为木块一开始静止，所以要求：- ≤x0≤ kk可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是 ?mg3?mg

≤x≤ kk

【例8】如图所示，露天娱乐场的空中列车由多节质同车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一的中圆形光滑轨道，若列车全长L=4πR，R远大于每一节车度，整个列车刚好能通过光滑圆轨道，两节车厢间的相互

一节车厢的重力，求第一节车厢到达最高点时对轨道的压力。

解析：车厢刚好分布轨道时，列车在轨道上势能最大，此时速度最小，设最小速度为通过轨道，在最高点的一节列车须满足

v2

mg=m 得：v2=gR

R

列车的总质量为M，由机械能守恒得： 11

MgR =M(v02-v2) 22故列车的初速度为：v0=2gR

第一节车厢到最高点速度为v1，由机械能守恒得 113MgR =M(v02-v12) 得：v12=gR 422v12第一节车厢在最高点有：mg+N=m

Rv12

故：N=m -mg=mg/2

R

【例9】如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的O 量均为m的相半径为R的空厢的长度和高作用力远小于v，要列车安全

L B O点，下端系一L A 质量为m的小球，竖直悬挂起来，A点是平衡时小球的位置，现保持绳绷直，将小球从A点拉开到绳水平的位置B，然后在OA连线上于墙上固定一细长的钉子于某点，问下列两种情况下，钉子到悬点O的距离各是多少？

(1)将球释放后，绳被钉子挡住，以钉子O1为圆心做圆周运动。 (2)将球释放后，绳被钉子O2挡住，小球刚好能击中钉子。

解析：(1)取小球、地球为一系统，设钉子到悬点的距离O1O=x1，小球绕O1刚好能做圆周运动，其半径为R1，以小球圆周运动的最高点C为重力势能零点，则小球从A摆动到C的过程中，机械能守恒有

1vc22

mg(L-2R1)= mvc ，mg=m ，x1=L-R1

2R得x1=3L/5

即钉子到悬点的距离至少为3L/5。

(2)取小球、地球为一系统，设小球绕O2刚好能击中钉子，且绕钉子做圆周运动时半径为R2，钉子到悬点的距离为O2O=x2，当小球做圆周运动到D点时速为vd，O2D与O2O间夹角为?，这时绳中拉力刚好为零，并取D点为重力势能零点，则小球从B摆动到D的过程中机械能守恒

1vd22

mg(L-R2-R2cos?)=mvd ，mgcos?=m

2R

此后小球做斜上抛运动，设从D到击中O2的时间为t，则有 -R2cos?=vdsin?t-gt2/2

R2sin?=vdcos?t 由此解得：R2=

6L 3x2=L-R2=L-

6L 3即钉子O2到悬点O的距离为L-

6L 3【例10】如图所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑水平台面上。B、C间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展。物块A以初速度v0沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A与B粘合在一起。然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。脱离弹簧后C的速度为v0.

(1)求弹簧所释放的势能△E． (2)若更换B、C间的弹簧，当物块A以初速v向B运动，物块CA B C v0 在脱离弹簧后的速度为2v0，则弹簧所释放的势能△E'是多少？ m m m (3)若情况(2)中的弹簧与情况(1)中的弹簧相同，为使物块C在脱离弹簧后的速度仍为2v0，则A的初速v应为多大？

12m参考答案：(1)mv0；(2)(v?6v0)2；(3)v3=4v0.

312四、冲量和动量