2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切学案苏教版必修4

3.1.3 两角和与差的正切

学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．

知识点一 两角和与差的正切公式

思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？

思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 梳理

名称 简记符号 公式 tan(α＋β)＝两角和的正切 T(α＋β) tan α＋tan β 1－tan αtan βtan(α－β)＝两角差的正切 T(α－β) tan α－tan β 1＋tan αtanβ使用条件 α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) π2α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) π2 知识点二 两角和与差的正切公式的变形

1．T(α＋β)的变形

tan α＋tan β＝________________________.

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan αtan β＝________________________. 2．T(α－β)的变形

tan α－tan β＝________________________.

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝____________________.

类型一 正切公式的正用

1

例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．

711

(2)已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝______.

23反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角． (2)利用公式T(α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值．

②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． ③根据角的范围及三角函数值确定角．

π?3π???跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin?θ＋?＝，则tan?θ－?＝________.

4?54???类型二 正切公式的逆用

1＋tan 15°

例2 (1)＝________；

1－tan 15°1－3tan 75°(2)＝________.

3＋tan 75°

反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，1

当式子出现，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．

2跟踪训练2 求下列各式的值： cos 75°－sin 75°(1)； cos 75°＋sin 75°1－tan 27°tan 33°(2). tan 27°＋tan 33°

类型三 正切公式的变形使用

例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；

(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值．

反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：

tan α±tan β①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝.

tanα±β当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．

π

跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋3＝3tan Atan B，则角C的值为

2________．

4

1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝________.

3

4?π??π?2．已知cos α＝－，且α∈?，π?，则tan?－α?＝________. 5?2??4?

?π?tan?＋α?－11?4?

3．已知tan α＝，则＝________.

2π??1＋tan?＋α?

?4?

15

4．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________.

35

sin α＋cos α5．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.

sin α－cos α

1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律

(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan

αtan β的差或和．

(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T(α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围

π

由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋

2(k∈Z)． (2)公式的逆用

ππ3π

一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝

46333等．

π1＋tan α特别要注意tan(＋α)＝，

41－tan απ1－tan αtan(－α)＝.

41＋tan α(3)公式的变形用

只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．

特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．