山东省实验中学高三第三次诊断性测试 理科数学

得分 评卷人 21.（本小题满分12分）已知长方形ABCD，AB?22，BC=1。以AB的

中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.

（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线l，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

22.（本小题满分

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分）已知函数

f(x)的导数

得分 评卷人 f'(x)?3x2?3ax,f(0)?b,a,b为实数，1?a?2.

（Ⅰ）若f(x)在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、

b的值；

）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2,1且与曲线f(x)相切的直线l的方程；

（Ⅲ）设函数F(x)?[f'(x)?6x?1]?e2x，试判断函数F(x)的极值点个数。

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实验中学三诊数学（理）参考答案及评分标准 2012.2

一、选择题 题号 1 答案 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 B 8 B 9 D 10 C 11 C 12 D 二、填空题：13.

31；14.0?a?；15.[?3,2）； 16.-12 22三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17.由题意知f(x)?a(x?x1)(?x2)?a(x?1)(x?3).

且a?0故二次函数在区间[2,??)上是增函数.??????????4分 又因为8?|t|?8,2?t2?2，??????????????6分 故由二次函数的单调性知不等式f(|t|?8)?f(2?t2)

等价于8?|t|?2?t2即|t|2?|t|?6?0 ????????10分 故|t|?3即不等的解为：?3?t?3.????????12分

18.解：（Ⅰ）因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b， ????????2分

3c， ??????????4分 2922c?c?4c2222b?c?a1 所以cosA??4??，????????6分

32bc42?c22 又a?2c，可得b?（Ⅱ）由（Ⅰ）cosA??115,A?(0,?)，所以sinA?， ????????8分 44因为S?ABC?3151,S?ABC?bcsinA， 4211315315，????????????10分 bcsinA??c2?22244所以S?ABC?得c2?4,即c?2,b?3. ??????????12分 19.解（Ⅰ）f(x)? ∴T??. 由

31?cos2x?1sin2x??a?sin(2x?)?a?， （2分） 2262?2?2k??2x??6?3??2??2k?，得?kx?x??k?. 263

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2??k?](k?Z). （6分）

63????5?1?.???sin(2x?)?1. （2）Q??x?,???2x??6366626 故函数f(x)的单调递减区间是[??k?, 当x???1113????（1?a?)?(??a?)?， ,?时，原函数的最大值与最小值的和

2222?63??1?a?0,?f(x)?sin(2x?)?. （8分）

62（3）由题意知g(x)?sinx （10分）

?

?20sinxdx??cosx|2=1 （12分）

0?20、解：（Ⅰ）设等比数列?an?的首项为a1，公比为q， 依题意，有（2a3?2)?a2?a4，

代入a2?a3?a4?28,得a3?8,?a2?a4?20 ??????????2分

1?3??q?2?a1q?a1q?20?q? 解之得???或?2 ??????????4分 2??a1???a3?a1q?8?a1?32又?an?单调递增，?q?2,?a1?2,?an?2n ????????????6分 （Ⅱ）bn?2?log12??n?2，????????????7分

2nnn??sn?1?2?2?22?3?23???n?2n ①

??2sn?1?22?2?23?3?24???(n?1)?2n?n2n?1 ②

?①-②得sn?2?2?2???2?n?210分

23nn?12(1?2n)??n?2n?1?2n?1?n?2n?1?2

1?2n?1n?1?sn?n?2n?1?50，?2?2?50,?2?52

又当n?4时，2当n?5时，212分

n?1?25?32?52， ??????????11分

?26?64?52.故使sn?n?2n?1?50，成立的正整数n的最小值为5. ?

n?121.解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为(?2，. 0)，(2，0)，(2，1）

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x2y2设椭圆的标准方程是2?2?1(a?b?0).

ab则

2a?AC?BC?(2?(?2))2?(1?0)2?(2?2)2?(1?0)2?4?22,?a?2

2分

?b2?a2?c2?4?2?2.

x2y2∴椭圆的标准方程是??1. ????????4分

42（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线l的方程为y?kx?2(k?0).??5分 设M，N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

?y?kx?2联立方程：?2 2?x?2y?4消去y整理得，(1?2k2)x2?8kx?4?0 有x1?x2??8k4,xx? ??????7分 12221?2k1?2k若以MN为直径的圆恰好过原点，则OM?ON，所以x1x2?y1y2?0，????8分 所以，x1x2?(kx1?2)(kx2?2)?0， 即（1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4?0

4(1?k2)16k2所以，??4?0 221?2k1?2k8?4k2即?0， ????????9分 21?2k得k2?2,k??2. ????????10分

所以直线l的方程为y?2x?2，或y??2x?2.??????11分

所在存在过P（0，2）的直线l：y??2x?2使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。????12分

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