十一章曲线积分与曲面积分

于是，原式=

??(?2x?2?2y2?x2?y2)dxdy????(x2?y2)dxdy

??22????(x?y)dxdy???2d??r3dr??.

008DXY注意 ：比较以上三种解法，以“解法三”为最简单.但这不能成为一般性结论.一般说来，更

换坐标变量法并不常用.这是因为，当积分曲面?的方程复杂时，更换坐标变量后的曲面积分难于计算.只有积分曲面?是平面、旋转抛物面等简单情况，才考虑使用更换坐标变量法. 【例9】 计算

333(xcos??ycos??zcos?)dS， ???1?其中，?是锥面z2?x2?y2在?1?z?0部分的上侧.cos?,cos?,cos?是?上任一点(x,y,z)法线的方向余弦.

【解】 补?0:z??1,x2?y2?1，方向向下.则根据高斯公式，

???????0?????.又设???0所围区域为?.

?0???0???3???(x?y?z)dv?3?d??sin?d???042222??3??1cos?0r4dr

6???5??3?4sin?3???1?9? d?????5410?cos??3?10cos?4?在?0上，cos??cos??0,cos???1，且z??1 ，因此

333(xcos??ycos??zcos?)dS???dS?????0x2?y2?1??dxdy??

原式?9??????. 1010注意 ：这种带有cos?,cos?,cos?的第一类曲面积分容易化为第二类曲面积分.但是在使用高斯公式之前，没有必要化为第二类曲面积分，直接使用高斯公式第二种形式即可.

方法与经验 第一类曲面积分以直接计算为主，即“一投、二代、三替换”.只有特殊的题可以转变第二类曲面积分，主要是使用高斯公式.计算中要注意使用变量位置的对称性和奇偶对称.第二类曲面积分以利用高斯公式计算为主，但直接计算仍然是不能回避的基本方法，如果曲面不是封闭的，需要补加一个或几个曲面使之封闭，所补曲面要与原曲面的方向一致.使用高斯公式有两点注意事项：一是P，Q，R具有连续偏导数，否则要用小球将不连续点排除；二是曲面方向向外，否则必须补加一个负号.

第二类曲面积分的奇偶对称性与第一类曲面积分相反.在积分区域、曲线、曲面满足对称性条件下，二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都是被积函数为奇函数时积分值为0，而第二类曲线积分和第二类曲面积分却是被积函数为偶函数时积分值为零.

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?x2?y2?z2?5【例10】 计算?xyzdx?(x?y)dy?(x?y?1)dz,其中?:?，从z轴正方22?z?1?x?y?222向看去为顺时针.

【解法一】（直接计算）将x2?y2?z?1代入x2?y2?z2?5中，得z?2,z??3（舍去）.由此知?是平面z?2上的圆周x2?y2?1.因此可得?的参数方程为

?:x?cot,sy?sit,nz?2(t由2?到0）.所以

原式???(?2cos202tsin2t?sint)dt

2?1?31??1?31???2?sin2t(1?sin2t)dt?2?4(????)?.?2?4(????)?.

0224222224222?x2?y2?1【解法二】 （投影方法）将?：?向xOy面上投影，投影曲线是l:x2?y2?1（顺

?z?2时针方向），它所围的区域设为D.则 原式?2x??y?2?dx?1?dy?(x?y?1)d(2) l??2x2ydx?dy????(0?2x2)d??lD?2.

三 、练习题

(一) 填空题

1．设L是从点（1，1）到（2，3）的一条直线，则

?(x?y)dx?(x?y)dy? .

L2．设L是圆周x?acost,y?asint(0?t?2?),则3．设?为曲面x?y?z?a,则

2222?L(x2?y2)3ds? . ???x2y2z2dS? . ??4．向量场A?(2z?3y)i?(3x?z)j?(y?2x)k的旋度rotA?____________________.

2225．设 C为x?y?a在第一象限内的部分，则e????x2?y2Cds? .

26． 设 C为抛物线y?x从点（0，0）到（2，4）一段弧，则

?C(x2?y2)dx? .

7．设?:x2?y2?z2?R2,则（x?y?z）dS= . ????????2228．向量场A?(x?yz)i?(y?xz)j?(z?xy)k的散度divA? .

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9．L是xOy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为?(x,y)，则L关于x轴的转动惯量可用曲线积分表示为 （其中?(x,y)为连续函数）.

10．设L是x2?y2?1上从A(1,0)经E(0,1)到B(?1,0)的曲线段，则

?Leydy? . ?211．设MN是从M(1,3)沿圆(x?2)2?(y?2)2?2至点N(3,1)的半圆， 则积分

?MN?ydx?xdy? . 12．设L是从A（1，6）沿圆xy?6至点B(3，1)的半圆，则积分

?Lex?y(ydx?xdy)? .（提示：ydx?xdy?d(xy)）

2y2?1至点B(0，2)的曲线段， 13．设L是由A（1，0）沿x?2则

?212?x2yx2y2xedx?yedy? .（提示：2xdx?ydy?d?x?y?） ?L2??214． L是由y?x及y?1所围成的区域D的正向边界，

则(xy?x3y3)dx?(x2?x4y2)dy? .

?L15．L是任意简单闭曲线，a,b为常数，则?L?adx?bdy? . 16． 设L是xOy平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线， 且

?(x?2y)dx?(4x?3y)dy?9L，则L所围成的平面闭区域D的面积等

于 .

x2x22?y?1上具有二阶连续偏导数，L是椭圆?y2?1的顺时针方向，17． 设f(x,y)在44则[3y?fx(x,y)]dx?fy(x,y)dy? .

L2（x-1）18．设AMB是由A(?2,3)沿y?x?1至点M(1,0)再沿y?2到B(2,2)的路径

??- -

，则

?ydx?xdy? .

AMB?19．设f(x)由连续导数，L 是任意简单闭曲线，且

2ye?[xdx?f(x)dy]?0，则Lf(x)? . 20．力F?(x2?y2)m(yi?xj)构成力场（y?0），若已知质点在此力场（y?0）内运动时场力所做的功与路径无关，则m? .

21．设?是柱面x2?y2?a2在0?z?h之间的部分，则积分22．设?是球面x?y?z?a的内侧，则曲面积分23．设?是球面 x?y?z?a的外侧，则积分24．设?是球面x?y?z?a的外侧，则积分

222222222222???2x??dS? . ?222(x?y?z)dydz? . ?????ydxdy? .

???zdxdy?ydzdx?xdydz? . ?25．设光滑闭曲面?所围的空间闭区域为V，则用高斯公式化曲面积分为重积分时，有

??xzdxdy?zxdzdx?yzdydz??? .（这里?+表示?的外侧）.

26．设光滑闭曲面?所围成的空间闭区域为V，则用高斯公式化曲面积分为重积分时，有

333ydzdx?xdydz?zdzdy? . ????27．设?是由光滑闭曲面?所围成的空间闭区域，其体积记为V，则沿?外侧的积分

??(z?y)dxdy?(y?x)dzdx?(x?z)dydz? .

??（二） 选择题

28．设f(u)连续可导，L为以原点为心的单位圆，则必有 [ ].

(A)?LLf(x2?y2)(xdx?ydy)?0 ； (B)

?Lf(x2?y2)(xdy?ydx)?0 ；

(C)?f(x2?y2)(dx?ydy)?0 ； (D)?f(x2?y2)(xdx?dy)?0.

L29．设?是球面x?y?z?a的外侧，Dxy:x?y?a，则必有 [ ].

2222222(A)2222zdxdy?2(a?x?y)dxdy ；(B)?????D2z??dxdy?0； ?(C)??z3dxdy?3??(a2?x2?y2)dxdy ；(D)??z3dxdy?0.

?Dxy?t2t3,z?(0?t?1)，其线密度??2y，则它的质量为 30．物质曲线沿C：x?t,y?23- -