电偶极子在均匀介质球中时球外电场的研究

?d?m2?2d??(1?x)???n(n?1)??0 （77） 2??dx?dx1?x????上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数Pnm(x)

与第二类连带勒让德函数 Qmn(x)之和，这里 m < n 。

当 n 是整数时，Pnm(x)及Qmn(x)为有限项多项式

cos??xcos??x

(图六)

当场区包括 ??0或 ? 时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。

通常令 ?(?)?Pnm(x)?Pnm(cos?)那么，电位微分方程的通解取下列线性组合

?(r,?,?)???(Amsinm??Bmcosm?)m?0n?0n? (78)

(Cnrn?Dnr?(n?1))Pnm(cos?)若静电场与变量?无关，则 m = 0 ， Pn0(x)?Pn(x) 称为第一类

勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为

?(r,?)??(Cnrn?Dnr?(n?1))Pn(cos?) (79)

n?0?第五章 电偶极子位于均匀介质球中时的球外电场

5.1.1 具有轴对称性的三维电势方程的边值问题的求解

电偶极子位于均匀介质球中，当外无自由电荷时。我

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们设均匀介质球的介电常量为ε1，球外充满另一种介质ε2，在介质球的中心置一自由电偶极子，电偶极矩为Pf,介质球半径为R0,这样的静电场定解问题属于求解介质球外的三维拉普拉斯方程和介质球内的三维泊松方程的边值问题。

如果选择坐标系原点与介质球中心以及电偶极子中心重合，则球坐标的极轴与电偶极矩方向一致，设坐标系的极轴沿电偶极矩为Pf方向，这电势与电场的分布具有轴对称性。V= V(r,θ),E=E(r,θ),电场强度E和电势V不依赖于方向角度Ψ，只依赖于径向坐标r和极坐标θ。

考虑到介质球外的电场分布在边界面上连续和电位移矢量法线分量连续。三维电势方程及定解条件简化为:

(80)

式（80）中L为电偶极子的一对等量异号点电荷之间的距离，电偶极矩Pf=qL,电势的分布必须同时考虑电偶极子

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和介质球面上极化面电荷的贡献，并且电势的分布具有轴对称性。采取分离变量法，式（80）具有轴对称解

(81)

式（81）中的电势由两部分组成，第一部分由电偶极子本身所贡献，第二部分由电偶极子极化部分在球面上产生的极化面电荷所贡献。一般来说组成电偶极子的一对等量异号点电荷之间的距离L远比场点到它们的r小的多，所以，除了邻近电偶极子的区域以外，式（81）中的第一部分准确的

表示了电偶极子对电势分布的贡献。愈加远离电偶极子的场点，电偶极子的一对等量异号点电荷之间的距离的差别愈小，式（81）中的第一部分的表述愈准确。

将式（81）应用于求解介质球内的电势分布，考虑到极化面电荷的电势在 r=0处有限，将式（81）的第二部分取极限，有

(82)

有式（82）易见

(83)

因而介质球内的电势分布为

(84)

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将式（81）应用于求解介质球外的电势分布，考虑到极化面电荷的电势在 r=∞处趋于零，将式（81）的第二部分取极限，有

(85)

由式（85）易见

（86）

因而介质球外的电势分布为

（87）

将式（84）和式（87）代入衔接条件式（80），有

（88）

（89）

比较式（88）两端同阶勒让德函数的系数，注意到

，有

（90）

再将式(90)式代入式（89），并且比较同阶勒让德函数的系数，可求得

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