电偶极子在均匀介质球中时球外电场的研究

那么， 和 的边界条件就可能出现两类情况：

第一类是给定边界面上的电势,称为狄利柯莱(Dirichlet)边界条件

第二类是给定边界面上的电势的法向导数,这等于给定了表面附近的场,即相当于给定曲面上的面电荷密度,称为诺依曼(Neumamn)边界条件 令

将上面的泊松方程代入 中，显然可得

将第一类边界条件代入 中，可得到 将第二类边界条件代入 中，可得到

选取一个足够大的闭合曲面 ，包围所给定的电荷、导体和介质区域，作以下的面积分，并利用

，于是有

(56)

选取一个足够大的闭合曲面 ，包围所给定的电荷、导体和介质区域，作以下的面积分，并利用

，于是有

(57)

可以证明在上式左边对S面以内的导体或介质表面的积分或者是零或者相抵消（略）。把S面上的积分表示成分量形式，得到

对于第一类边界条件 此

(58)

，上式左边为零，因

(59)

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对于第二类边界条件 则

上面积分的被积函数 因此 可见

和

，上式左边亦为零，

(60)

是正定的，所以只能有

常数 (61) 是泊松方程相同的解，它们至多差一个常数。我们

干脆取这个常数差为0，将 和 写为 ，这就证明了解的唯一性。可见，不论用哪一种方法求解，只要得到的势满足泊松方程和所给定的边界条件，那么 的解就是唯一的。

必须说明，在闭合边界上两个条件下的解一般不同，在既给定

又给定 的条件下，泊松方程并不存在唯一的解。我们所讨论的解的唯一性是指在两类边界条件之一满足时泊松方程的解是唯一的。非闭合边界情况比较复杂，在此不详细讨论。

3）分离变量法

分离变量法是通过变量分离将三维偏微分方程简化为三个独立的常微分方程，从而简化求解【11】。

分离变量法对于11种正交曲面坐标系都是行之有效的。 1. 直角坐标系中的分离变量法

令 ?(x, y, z)?X(x)Y(y)Z(z) ，在数学物理方法中，该方程的通解为

?(x,y,z)?(A1coskxx?A2sinkxx)?(B1coskyy?B2sinkyy) (62) ?(C1coskzz?C2sinkzz)或者写成 ?(x,y,z)?e?ikxe?ikye?ikz; ( kz 2 ? kx2?ky2)

xyz2. 圆柱坐标系中的分离变量法

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1???1?2??2?(r)?2?2?0 (63) 在柱坐标系中 ???2r?r?rr???z2设 ?(r,?,z)?R(r)?(?)Z(z) 该方程的通解为

?(r,?,z)??A1Jm(kr)?A2Nm(kr)???B1cos(n?)?B2sin(n?)? (64)

??C1cosh(kz)?C2sinh(kz)?其中，Jm为m阶第一类Bessel函数，Nm为m阶第二类Bessel函数。

krm?2n)?2Jm(kr)?? (?为伽马函数) (65) n?0n!?(m?n?1)cos(m?)Jm(kr)?J?m(kr)Nm(kr)?sin(m?)(?1)n(（补充：Gamma函数满足

?(z)??0tz?1e?tdt (66) 如果考虑与z轴无关(k=0)情况，并讨论的区域是0???2?，故通解为

?(r,?)?Ao?B0lnr??(Anrn?Bnr?n)cos(n?)n?1????(Cnrr?Dnr?n)sin(n?)n?1? (67)

这里A, B, C, D为待定系数。

3球坐标系中的分离变量法

在这里我们主要介绍球坐标系下的拉普拉斯方程的求解。 在球坐标系中，电位微分方程的展开式为

1??2???1?????1?2??0(68) ?r??2?sin???2222r?r??r?rsin???????rsin???令 ?(r,?,?)?R(r)?(?)?(?) (69) 代入上式，得

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sin2?d?2dR?sin?d?d??1d2? ?0 (70) ?r???sin???2Rdr?dr??d??d???d?1d2?d2?2令 ??m 得 ?m2??0 (71) 22?d?d?其解应为

?(?)?Asinm??Bcosm? (72)

若静电场与变量 ? 无关，则 m = 0 。

1d2?2将 代入上式，得 ??m2?d?1d?2dR??1d?d??m2??r????sin?????0 （73） Rdr?dr???sin?d??d??sin2??可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，

第一项应为常数。

为了便于进一步求解，令

1d?2dR??r??n(n?1) （74） Rdr?dr?d2RdR?2r?n(n?1)R?0 , n 为整数 即 r2drdr2这是欧拉方程，其通解为

R(r)?Crn?D （75） rn?1将上述结果代入前式，得

?d?d??m2??sin?????n(n?1)sin????0 （76） d??d??sin???令 cos??x，则上式变为

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