八年级数学平方差公式 教案人教版

§15．3．1 平方差公式

教学目标

（一）教学知识点

1．经历探索平方差公式的过程．

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． （二）能力训练要求

1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2．培养学生观察、归纳、概括的能力． （三）情感与价值观要求

在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美． 教学重点

平方差公式的推导和应用． 教学难点

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学方法

探究与讲练相结合． 通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用． 教具准备 投影片． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]你能用简便方法计算下列各题吗？ （1）2001×1999 （2）998×1002

[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出． [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了． [师]很好，请同学们自己动手运算一下． [生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）

2

=2000-1×2000+1×2000+1×（-1） =20002-1 =4000000-1 =3999999．

（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）

=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2 =10002-22 =1000000-4 =1999996．

[师]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22

它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．

Ⅱ．导入新课 [师]出示投影片

计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．

（学生讨论，教师引导）

[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．

[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1?这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．

[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现． [生]解：（1）（x+1）（x-1）

2

=x+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2）

=m2+2m-2m-2×2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1）

=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y）

2

=x+5y·x-x·5y-（5y）2 =x2-（5y）2

[生]从刚才的运算我发现：

也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．

[师]能不能再举例验证你的发现？ [生]能．例如：

51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．

即（50+1）（50-1）=50-12． （-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）

=（-a）2-b2=a2-b2

2

这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． [师]为什么会是这样的呢？

[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．

[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明． [生]这个规律用符号表示为： （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2． [师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）

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（a-b）=a-b起一个名字呢？

[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？ [师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，?请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式． （出示投影）

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 即：（a+b）（a-b）=a2-b2

平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用． 在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算 （出示投影片）

例1：运用平方差公式计算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 例2：计算： （1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座． 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b． 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22

（a+b）（a-b）=a2-b2

同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．

如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．

（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．?也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的） [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4． （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2． （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2． [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）

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=100-2=10000-4=9996． （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） =y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1．

[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？ [生]我觉得应注意以下几点：

（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式． （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，?但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式． [生]运算的最后结果应该是最简才行． [师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言． Ⅲ．随堂练习 出示投影片： 计算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b） （4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） Ⅳ．课时小结

通过本节学习我们掌握了如下知识． （1）平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．?这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2． （2）公式的结构特征

①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式； ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；

③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公

式．?如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2． Ⅴ．课后作业

1．课本P179练习1、2．

2．课本P182～P183习题15．3─1题．

《三级训练》 板书设计 §15．3．1 平方差公式 一、1．用简便方法计算 （1）2001×1999 （2）998×1002 2．计算： （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 二、探究、归纳规律──平方差公式； 文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2 三、应用、升华： 1．例1： 例2： 2．闯关练习 四、小结