江苏省徐州市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷（含解析）

17．已知数列{an}的首项是a1=1，an+1=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{nan}的前n项和Sn． 【考点】8H：数列递推式．

【分析】（1）递推式两边同时加1即可得出an+1+1=2（an+1），得出{an+1}为等比数列，求出通项即可得出an；

（2）先分组，再使用错位相减法求出一部分的和，即可得出Sn． 【解答】解：（1）∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）， 又a1+1=2，{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an+1=2n，∴an=2n﹣1． （2）nan=n?2﹣n，

∴Sn=1?2﹣1+2?2﹣2+3?2﹣3+…+n?2﹣n =（1?2+2?2+3?2+…+n?2）﹣（1+2+3+4+…+n）， 令Tn=1?2+2?22+3?23+…+n?2n， 则2Tn=1?2+2?2+3?2+…+n?2， 两式相减得：﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=∴Tn=（n﹣1）2n+1+2， 又1+2+3+4+…+n=∴Sn=（n﹣1）2+2﹣

18．如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β．已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行． （Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？

（Ⅱ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？

n+1

2

3

4

n+1

2

3

n

2

3

n

n

﹣n?2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，

=﹣

．

+，

【考点】HU：解三角形的实际应用．

【分析】（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，求出MC与3比较，即可得到结论； （Ⅱ）在△ABM中由正弦定理得可得MC，当且仅当MC＞3时没有触礁危险． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABM中可知，AB=BM=5，…4分 从而MC=5sin60°=（

Ⅱ

）

设

CM=x

＞3，没有触礁危险．…8分 ，

在

△

ABM

中

由，

解得x=所以当

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=

（1）求角B的值； （2）若

且b≤a，求

的取值范围．

，…14分

＞3时没有触礁危险．…16分．

正

弦

定

理

得

，

【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sinA﹣2cosB=的值，可得cosB的值，从而求得B的值． （2）由b=

≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．

2

2

﹣2sinA，求得cosB

22

【解答】解：（1）在△ABC中， ∵（=2（

cos2A

﹣

cos2B=sinA）（sin2A）=

2

=2

cosA﹣cos2A﹣

2

cosA+cos2A﹣

sinA） sin2A=

﹣2sin2A．

2

2

又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sinA﹣（2cosB﹣1）=2﹣2sinA﹣2cosB， ∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=∴B=

或

﹣2sin2A，∴cos2B=．

，∴cosB=±

，

（2）∵b=≤a，∴B=，

由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，

故a﹣（A﹣

c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（），

≤A＜sin（A﹣

，）∈[

﹣A）=sinA﹣cosA=sin

因为b≤a，所以所以a﹣

c=

≤A﹣，

＜）．

，

20．已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量∥

．

=（1，bn），=（an﹣1，Sn），

（1）若bn=2，求数列{an}通项公式； （2）若bn=

，a2=0．

①证明：数列{an}为等差数列； ②设数列{cn}满足cn=

，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得cl、

c2、cm成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由． 【考点】8C：等差关系的确定；8H：数列递推式．

【分析】（1）利用两个向量平行的坐标关系得到Sn=（an﹣1）bn，进一步对n取值，得到数列{an}是等差数列； （2）①由

，则2Sn=nan﹣n③，又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④，两式相减即可

得到数列{an}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{an}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．

②由①得到数列{cn}通项公式，根据m，l的范围讨论可能的取值． 【解答】解：（1）因为

=（1，bn），

=（an﹣1，Sn），

∥

．

得Sn=（an﹣1）bn，当bn=2，则Sn=2an﹣2 ①， 当n=1时，S1=2a1﹣2，即a1=2，… 又Sn+1=2an+1﹣2 ②，

②﹣①得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an， 即an+1=2an，又a1=2，

所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，… 所以an

n=2．… （2）①证明：因为

，则2Sn=nan﹣n③，

当n=1时，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1， 又2Sn+1=（ n+1）an+1﹣（n+1）④， ④﹣③得

2Sn+1﹣2Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣1，… 即（n﹣1）an+1﹣nan﹣1=0 ⑤， 又nan+2﹣（n+1）an+1﹣1=0⑥ ⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan=0，

即an+2+an=2an+1，所以数列{an}是等差数列．… ②又a1=﹣1，a2=0，

所以数列{an}是首项为﹣1，公差为1的等差数列． an=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以

，…

假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得cl、c2、cm成等比数列，即，可得

，…

整理得5lm﹣4l=4m+4即

，由

，得1≤m≤8，…

一一代入检验或或或或或或

由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．…

或