2011年江苏高考热点题型聚焦：立体几何(2)

1. 如图，矩形ABCD中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，

F为CE上的点，且BF?平面ACE，AC?BD?G．

（Ⅰ）求证：AE?平面BCE； （Ⅱ）求证：AE//平面BFD； （Ⅲ）求三棱锥C?BGF的体积．

D

GC F BA

E 解析：（Ⅰ）证明：?AD?平面ABE，AD//BC． ∴BC?平面ABE，则AE?BC．

又?BF?平面ACE，则AE?BF． ∴AE?平面BCE．

D

C GA

F B E （Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点．

?BF?平面ACE，则CE?BF，而BC?BE． ∴F是AC中点．

在?AEC中，FG//AE，∴AE//平面BFD．

（Ⅲ）解法一：?AE//平面BFD，∴AE//FG，而AE?平面BCE． ∴FG?平面BCE，∴FG?平面BCF．

1 ?G是AC中点，∴F是CE中点．∴FG//AE且FG?AE?1．

2 ?BF?平面ACE，∴BF?CE．

11 ∴Rt?BCE中，BF?CF?CE?2．∴S?CFB??2?2?1．

2211 ∴VC?BFG?VG?BCF??S?CFB?FG?．

33111111解法二：VC?BFG?VC?ABE??VA?BCE????BC?BE?AE?．

444323

1

2. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱AD、AA1的中点. （1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

证明:（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， //

所以CD=A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， A1 又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为EE1?平面FCC1，CF1?平面

A E1 E

F

B

A D1 F1

D A1 D1 C1

B1

D E

F

C1

B1

C

B C

E1 FCC1，

所以直线EE1//平面FCC1.

（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, D1 所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,

F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形， A1 ?BCF?60?,△ACF为等腰三角形，且?ACF?30?

所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于E1 D 点C, E所以AC⊥平面BB1C1C,而AC?平面D1AC,

A F

所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

3.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是正方形，AC

与交于点O，M、N、E分别是DC、SC、BC的中点。

（1）求证：AC⊥平面SBD；

（2）当点P在线段MN上移动时，试判断EP与AC的位置关系，并证明

你的结论。

C1

B1

C

B

2

解析：（1）?底面ABCD是正方形，O为中心，?AC⊥BD 又SA=SC,?AC⊥SO,又SO?BD=0,

?AC⊥平面SBD

（2）连接EM、EN、MN，在MN上任取一点P，连接EP ?M、N、E分别是DC、SC、BC中点， ?EM//BD，EN//SB 又由（1）知，AC⊥BD 且AC⊥平面SBD， 所以，AC⊥SB

AC⊥EN，且EM?NE=E ?AC⊥EM， ?AC⊥平面EMN

因此，当P点在线段MN上移动时，总有AC⊥EP

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