北邮版概率论标准答案(2)

故 z??2.33 （2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

即 ?(z?)?0.997 查表得 z??2.75 由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

即

?(z?/2)?0.9985

查表得 z?/2?2.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530

P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k

), k=1,2,…,令 2?1,当X取偶数时 Y????1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)??P(X?2k)?

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111?()2?()4??()2k?222

111?()/(1?)?443

P(Y??1)?1?P(Y?1)?30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

2 3当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

dFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 故 fY(y)?dyyy2π(2)P(Y?2X2?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时FY(y)?P(Y?y)?P(2X2?1?y)

?P?X? ???2?y?1?y?1?P??X????2?2?y?1? ??2??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

d1FY(y)?故 fY(y)?dy4 ?(3) P(Y?0)?1

?2??y?1?y?1???fX?????fX???2??? y?1?2???????1221?(y?1)/4e,y?1

y?12π当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

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?故fY(y)??y?yfX(x)dx

dFY(y)?fX(y)?fX(?y) dy2?y2/2e,y?0 2π?31.设随机变量X~U（0,1），试求：

（1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1

X故 P(1?Y?e?e?) 1当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

当1

??lny0dx?lny

当y≥e时FY(y)?P(eX?y)?1 即分布函数

y?1?0,?FY(y)??lny,1?y?e

?1,y?e?故Y的密度函数为

?11?y?e? fY(y)??y,?0,其他?（2） 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??)?P(X?e ?z2?z/2)

?1?z/2edx?1?e?z/2

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即分布函数

z?0?0, FZ(z)??-z/2?1-e,z?0故Z的密度函数为

?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2

?z?0?0,32.设随机变量X的密度函数为

?2x?,0?x?π,f(x)=?π2

?其他.?0,试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当0

?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π)

π2x2xdx??0π2?π?arcsinyπ2dx

1122?2（arcsiny）?1-2（π-arcsiny） ππ2 ?arcsiny

π ?arcsiny当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为

1?2,0?y?1?π2fY(y)?? 1?y?0,其他?33.设随机变量X的分布函数如下：

?1,?F(x)??1?x2??(2),试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limF(x)?1知②填1。

x??x?(1)x?,

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