第4讲 二次根式

第4讲 二次根式

二次根式的有关概念 二次根式 最简二次根式 一般地，形如a(①________)的式子叫做二次根式. 必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号). 二次根式的性质

两个重要的性质 积的算术平方根 商的算术平方根 (a)＝a(a②________)． 2a＝|a|＝错误! ab＝a·b(a≥0，b≥0). aa＝(a≥0，b>0). bb2 二次根式的运算 二次根式的加减 二次根式的乘法 二次根式的除法 二次根式的 混合运算

绝对值：|a|；偶次幂：a；非负数的算术平方根：a(a≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：(1)非负数形式有最小值为零；(2)几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．

命题点1 二次根式有意义的条件

(2015·绵阳)要使代数式2－3x有意义，则x的()

22

A．最大值是 B．最小值是

333

C．最大值是

2

3

D．最小值是

2

2n

先将各根式化为⑤____________，然后合并被开方数⑥________的二次根式. a·b＝⑦________(a≥0，b≥0) ab＝⑧________(a≥0，b＞0) 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨________，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).

此命题点的考查多是在求函数自变量的取值范围中一同考查，另外需注意的是：若是使复合型的式子

有意义，必须得使每个式子有意义．

1．(2015·宜昌)下列式子没有意义的是()

A.－3 B.0

2C.2 D.（－1）

2．(2014·株洲)x取下列各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义()

A．－2 B．0 C．2 D．4 3．(2015·内江)函数y＝2－x＋

1

中自变量x的取值范围是() x－1

A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1

4．(2015·乐山)函数y＝x－2的自变量x的取值范围是________． 命题点2 二次根式的运算

1

(2014·广元)计算：27－－12.

2－3

【解答】

对于二次根式的混合运算，其运算顺序同实数的运算顺序，即是先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的乘法运算中，若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简便．运算结果一定要是最简二次根式．

1．(2015·安徽)计算8×2的结果是()

A.10 B．4 C.6 D．2 2．(2015·凉山)下列根式中，不能与3合并的是()

A.

1 3

B.1 3

C.

2 3

D.12

3．(2015·眉山)计算：22－18＝________．

4．(2015·滨州)计算(2＋3)(2－3)的结果为________． 命题点3 非负数的性质

(2015·资阳)已知：(a＋6)＋b－2b－3＝0，则2b－4b－a的值为________．

22

【思路点拨】 首先根据非负数的性质可求出a的值和b－2b＝3，进而可求出2b－4b－a的值．

本题主要考查非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.

1．(2013·攀枝花)已知实数x，y，m满足x＋2＋|3x＋y＋m|＝0，且y为负数，则m的取值范围是()

A．m＞6 B．m＜6 C．m＞－6 D．m＜－6 2．(2015·巴中)若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足a－9＋(b－2)＝0，则第三边c的取值范围是________．

2

2

2

2

2

3．(2013·巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足a－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．

1．(2015·重庆A卷)化简12的结果是()

A．43 B．23 C．32 D．26 2．(2015·重庆B卷)计算32－2的值是()

A．2 B．3 C.2 D．22

11

3．(2014·金华)在式子、、x－2、x－3中，x可以取2和3的是()

x－2x－3

A.1

x－2

B.1

x－3

C.x－2 D.x－3

2

4．(2015·宁夏)下列计算正确的是()

A.3＋2＝5

－1

C．(5)＝5

B.12÷3＝2

2

D．(3－1)＝2

aa＝，②bb

a

·b

b

＝1，③ab÷a

a＝b

5．(2014·济宁)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①－b，其中正确的是()

A．①② B．②③ 6．(2015·南京)计算

C．①③ D．①②③

5×15

的结果是________． 3

3a＋2

4a＋3b是同类二次根式，则a＝________，b＝________．

7．(原创)若最简二次根式2a－b＋4与

8．(2015·临沂)计算：(3＋2－1)(3－2＋1)．

9．已知a、b、c满足|a－18|＋b－7＋(c－32)＝0.

2

(1)求a、b、c的值；

(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？如果能构成三角形，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．

10．(2015·随州)若代数式

A．x≠1 C．x≠0

1

＋x有意义，则实数x的取值范围是() x－1

B．x≥0

D．x≥0且x≠1

2

11．(2015·孝感)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x＋(2＋3)x＋3的值是()

A．0 B.3 C．2＋3 D．2－3 12．(原创)对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝

a＋b

，如3※2＝a－b

3＋2

＝5.3－2

那么8※4＝________． 13．观察下面的变形规律：

1111

＝2－1，＝3－2，＝4－3，＝5－4，… 2＋13＋24＋35＋4解答下面的问题：

1

(1)若n为正整数，请你猜想＝________；

n＋1＋n

(2)计算(

12＋1

＋

11＋＋…)×(2 016＋1)． 3＋24＋32 015＋2 0141

参考答案

考点解读

考点1 ①a≥0 ②≥0 ③a ④－a 考点2 ⑤最简二次根式 ⑥相同 ⑦ab ⑧各个击破 例1 A

题组训练 1.A 2.D 3.B 4.x≥2

2＋3

例2 原式＝33－－23＝33－(2＋3)－23＝33－2－3－23＝－2.

（2－3）（2＋3）题组训练 1.B 2.C 3.－2 4.－1 例3 12

题组训练 1.A 2.1＜c＜5 3.5 整合集训 基础过关

1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.5 7.0 1 8.原式＝[3＋(2－1)][3－(2－1)]

22

＝(3)－(2－1)＝3－(2－22＋1) ＝22.

a

⑨乘除 b

9.(1)由非负数的性质求得：a＝32，b＝7，c＝42. (2)因为a＋c＝32＋42＝72， 所以a＋c>b，

因为c－a＝42－32＝2. 所以c－a

所以以a、b、c为边能构成三角形． 三角形的周长为72＋7. 能力提升

10．D 11.C 12.3 13.(1)n＋1－n

(2)原式＝[(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2 016－2 015)](2 016＋1) ＝(2 016－1)(2 016＋1)

22

＝(2 016)－1＝2 016－1 ＝2 015.