(江苏专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题2三角函数、解三角形、平面向量第7讲平面向量专

专题限时集训(八) 平面向量

(建议用时：45分钟)

1．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．

－3 [∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，

??2m＋n＝9，∴???m－2n＝－8，

??m＝2，

∴???n＝5，

∴m－n＝2－5＝－3.]

2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.

【导学号：19592024】

10 [∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c，得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)， ∴|a＋b|＝3＋－1

2

2

＝10.]

→→→

3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝________. →→→→

(1,1) [DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]

→→→

4．△ABC中，AB边的高为CD.若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝________.(用a，b表示)

44

a－b [如图，∵a·b＝0，∴a⊥b， 55

∴∠ACB＝90°， ∴AB＝AC＋BC＝5. 又CD⊥AB，

452

∴AC＝AD·AB，∴AD＝. 544→4→4

∴AD＝AB＝(a－b)＝a－b.]

5555

2π→1→1→→→→→5．已知|OA|＝1，|OB|＝2，∠AOB＝，OC＝OA＋OB，则OA与OC的夹角大小为________．

324

1

2

2

π1→→1→→→→→→→1→ [令OA＝OA1，OB＝OB1，因为|OA|＝1，|OB|＝2，所以|OA1|＝|OB1|，由OC＝OA＋32421→→→πOB＝OA1＋OB1，得四边形OA1CB1为菱形．因为菱形对角线平分所对的角，因此∠AOC＝.] 43

→

6．如图7－8，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点．F为边AB上的点，且AB＝→→→→

3AF，若AD＝xAF＋yAE，x，y∈R，则x＋y的值为________．

图7－8

5→1→1→→1→1→ [∵D为BC的中点，∴BD＝BC＝(AC－AB)＝AC－AB， 22222→→→∴AD＝AB＋BD

→?1→1→?1→1→1→1→3→→→→＝AB＋?AC－AB?＝AB＋AC＝×3AF＋×2AE＝AF＋AE＝xAF＋yAE，

2?22222?23

∴x＝，y＝1，

235

∴x＋y＝＋1＝.]

22

→→→1→→→

7．如图7－9，在等腰三角形△ABC中，底边BC＝2，AD＝DC，AE＝EB，若BD·AC＝－

21→→

，则CE·AB＝______. 2

图7－9

4

－ [如图建立直角坐标系，设A(0，h)(h＞0)， 3

→1→→→?12h??1h?则B(－1,0)，C(1,0)，由AE＝EB，AD＝DC，得E＝?－，?，D?，?.

2?33??22?

2

→?3h?→

则BD＝?，?，AC＝(1，－h)，

?22?12→→3h故BD·AC＝－＝－，h＝4，h＝2，

222→?44?→

故CE＝?－，?，AB＝(－1，－2)，

?33?4→→

则CE·AB＝－.]

3

→1→→→→→

8．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在

2→

2

BC方向上的投影等于________．

3→1→→→→ [由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝22→→→

|OC|，又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知→→→→

∠ABC＝30°，且|AB|＝3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝3×cos 30°3＝.] 2

→→→→→→

9．(2016·扬州期中)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，CA＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值是________．

－5 [∵AB＝1，BC＝2，CA＝5， ∴AB＋BC＝CA， ∴∠ABC＝90°， →→

∴AB·BC＝0，

→→→→→→→→→→→→2

∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝CA(BC＋AB)＝CA·AC＝－AC＝－5.]

10．(2016·南京三模)如图7－10，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，

2

2

2

→

AM＝2MD.若AC·BM＝－3，则AB·AD＝________.

→→→→→

图7－10

3→→

[∵AC·BM＝－3， 2

→→→→

∴(AD＋DC)(AM－AB)＝－3，

3

?→1→??2→→?∴?AD＋AB??AD－AB?＝－3，

2??3??

2→2→→1→→1→2

∴|AD|－AD·AB＋AB·AD－|AB|＝－3， 33222→→12

∴×9－AB·AD－×4＝－3， 3322→→→→3∴－AB·AD＝－1，∴AB·AD＝.]

32

11．(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．

?23?→→?0，? [如图，设AB＝α，AC＝β，

3??

→

则BC＝β－α，

又α与β－α的夹角为120°， ∴∠ABC＝60°. →

又|AC|＝|β|＝1， 由正弦定理得 |α||β|

＝， sin Csin 60°

2323

∴|α|＝sin C≤，

33

?23?

∴|α|∈?0，?.]

3??

→

12．(2016·南京盐城二模)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且BD＝27→

2DC，AD＝，则AC的长为________．

3

【导学号：19592025】

→→

3 [如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，点D在BC上，BD＝2DC，

4