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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2配套备课资源第一章 1.5.1-1.5.2

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§1.5 定积分的概念

1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程

一、基础过关

i-1i

1. 当n很大时,函数f(x)=x2在区间[,]上的值,可以近似代替为

nn

1

A.f()

niC.f()

n

2B.f() nD.f(0)

( )

1

2. 在等分区间的情况下f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式

1+x2正确的是

n

( )

12

A.lim∑[·]

i2nn→∞i=1

1+??n12

B.lim∑[·]

2i2nn→∞i=1

1+??

n11

C.lim∑ (2·) n→∞i=11+in1D.lim∑[·n]

i2n→∞i=1

1+??n

3. 把区间[a,b] (a

i-1iA.[,] nn

i-1iB.[(b-a),(b-a)]

nni-1iC.[a+,a+]

nn

i-1i

D.[a+(b-a),a+(b-a)]

nn

4. 一物体沿直线运动,其速度v(t)=t,这个物体在t=0到t=1这段时间内所走的路程为

1

A. 3

1B. 2

( )

nnn

第 1 页

C.1 二、能力提升

3D. 2

5. 由直线x=1,y=0,x=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形,将区间4等分,则曲边梯形

面积的的近似值(取每个区间的右端点)是 1

A. 1911

C. 27

111B. 25625D. 64

( )

6. 若做变速直线运动的物体v(t)=t2,在0≤t≤a内经过的路程为9,则a的值为 ( )

A.1

n

B.2 C.3 D.4

i

7.∑ =________. i=1n

8. 在求由抛物线y=x2+6与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积时,把区间

[1,2]等分成n个小区间,则第i个区间为________.

9. 已知某物体运动的速度为v=t,t∈[0,10],若把区间10等分,取每个小区间右端点处

的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________. 10.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积. 11.已知自由落体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离. 三、探究与拓展

6

12.某物体做变速运动,设该物体在时间t的速度为v(t)=2,求物体在t=1到t=2这段时

t

间内运动的路程s.

第 2 页

答案

1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.C 7.n+1

2

n+i-1n+i8.[,]

nn9.55

10.解 令f(x)=x2.

(1)分割

将区间[0,2]n等分,分点依次为

2?n-1?24

x0=0,x1=,x2=,…,xn-1=,xn=2.

nnn

2i-22i2i2i-22

第i个区间为[,](i=1,2,…,n),每个区间长度为Δx=-=. nnnnn(2)近似代替、求和 2i

取ξi=(i=1,2,…,n),

n

n

2i2i228n2

Sn=∑f()·Δx=∑ ()·=3∑i

nni=1i=1ni=1n

n

828n?n+1??2n+1?22

=3(1+2+…+n)=3· nn6431=(2++2). 3nn(3)取极限

4318S=limS=lim (2++)=, n

nn23n→∞n→∞38

即所求曲边梯形的面积为. 3

11.解 (1)分割:将时间区间[0,t]分成n等份.

i-1it

把时间[0,t]分成n个小区间,则第i个小区间为[t,](i=1,2,…,n),

nn每个小区间所表示的时间段 iti-1t

Δt=-t=,

nnn

第 3 页

在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i=1,2,…,n).

(2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程. i-1it在[t,]上任取一时刻ξi(i=1,2,…,n),

nn

i-1

可取ξi使v(ξi)=g·t近似代替第i个小区间上的速度,

nt

因此在每个小区间上自由落体Δt=内所经过的距离可近似表示为

ni-1t

Δsi≈g·t·(i=1,2,…,n).

nn(3)求和:

i-1t

sn=∑Δs=∑g·t· i

nni=1i=1

n

n

gt2

=2[0+1+2+…+(n-1)] n11=gt2(1-). 2n

12112(4)取极限:s=lim gt(1-)=gt.

n2n→∞21

即在时间区间[0,t]内物体下落的距离为gt2.

2

i-1i

12.解 (1)分割:将区间[1,2]等分割成n个小区间[1+,1+](i=1,2,…,n),区间长

nn

n1

度为Δt=,每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i=1,2,…,n),则sn≈?Δsi.

n

i=1

i-1

(2)近似代替:ξi=1+(i=1,2,…,n),

ni-1n16n

Δsi≈v(1+)·Δt=6·()2·= 2nnn+i-1?n+i-1?(i=1,2,…,n). (3)求和: sn=?

i=1n

6n?n+i-1?

2

第 4 页

≈?

i=1

n

?n+i??n+i-1?

6n

111111=6n(-+-+…+-)

nn+1n+1n+2=6n(1n-1

2n)=3.

(4)取极限: s=limn

→∞

sn=3.

2n-12n第 5 页

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§1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 一、基础过关 i-1i1. 当n很大时,函数f(x)=x2在区间[,]上的值,可以近似代替为 nn1A.f() niC.f() n 2B.f() nD.f(0) ( ) 12. 在等分区间的情况下f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式1+x2正确的是 n ( ) 12A.lim∑[·] i2

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