《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2配套备课资源第一章 1.5.1-1.5.2

§1.5 定积分的概念

1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程

一、基础过关

i－1i

1． 当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值，可以近似代替为

nn

1

A．f()

niC．f()

n

2B．f() nD．f(0)

( )

1

2． 在等分区间的情况下f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式

1＋x2正确的是

n

( )

12

A.lim∑[·]

i2nn→∞i＝1

1＋??n12

B.lim∑[·]

2i2nn→∞i＝1

1＋??

n11

C.lim∑ (2·) n→∞i＝11＋in1D.lim∑[·n]

i2n→∞i＝1

1＋??n

3． 把区间[a，b] (a

i－1iA．[，] nn

i－1iB．[(b－a)，(b－a)]

nni－1iC．[a＋，a＋]

nn

i－1i

D．[a＋(b－a)，a＋(b－a)]

nn

4． 一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为

1

A. 3

1B. 2

( )

nnn

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C．1 二、能力提升

3D. 2

5． 由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形

面积的的近似值(取每个区间的右端点)是 1

A. 1911

C. 27

111B. 25625D. 64

( )

6． 若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为 ( )

A．1

n

B．2 C．3 D．4

i

7．∑ ＝________. i＝1n

8． 在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间

[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．

9． 已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处

的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 10．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积． 11．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离． 三、探究与拓展

6

12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝2，求物体在t＝1到t＝2这段时

t

间内运动的路程s.

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答案

1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7.n＋1

2

n＋i－1n＋i8．[，]

nn9．55

10．解 令f(x)＝x2.

(1)分割

将区间[0,2]n等分，分点依次为

2?n－1?24

x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.

nnn

2i－22i2i2i－22

第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝. nnnnn(2)近似代替、求和 2i

取ξi＝(i＝1,2，…，n)，

n

n

2i2i228n2

Sn＝∑f()·Δx＝∑ ()·＝3∑i

nni＝1i＝1ni＝1n

n

828n?n＋1??2n＋1?22

＝3(1＋2＋…＋n)＝3· nn6431＝(2＋＋2)． 3nn(3)取极限

4318S＝limS＝lim (2＋＋)＝， n

nn23n→∞n→∞38

即所求曲边梯形的面积为. 3

11．解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．

i－1it

把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为[t，](i＝1,2，…，n)，

nn每个小区间所表示的时间段 iti－1t

Δt＝－t＝，

nnn

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在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．

(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． i－1it在[t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，

nn

i－1

可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，

nt

因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为

ni－1t

Δsi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．

nn(3)求和：

i－1t

sn＝∑Δs＝∑g·t· i

nni＝1i＝1

n

n

gt2

＝2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n11＝gt2(1－)． 2n

12112(4)取极限：s＝lim gt(1－)＝gt.

n2n→∞21

即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为gt2.

2

i－1i

12．解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n个小区间[1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，区间长

nn

n1

度为Δt＝，每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则sn≈?Δsi.

n

i＝1

i－1

(2)近似代替：ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，

ni－1n16n

Δsi≈v(1＋)·Δt＝6·()2·＝ 2nnn＋i－1?n＋i－1?(i＝1,2，…，n)． (3)求和： sn＝?

i＝1n

6n?n＋i－1?

2

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≈?

i＝1

n

?n＋i??n＋i－1?

6n

111111＝6n(－＋－＋…＋－)

nn＋1n＋1n＋2＝6n(1n－1

2n)＝3.

(4)取极限： s＝limn

→∞

sn＝3.

2n－12n第 5 页