【优化方案】2020高中数学 第3章3.1.4知能优化训练 新人教A版选修2-1

1．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )

A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c

解析：选D.构成基底的条件是三个向量不共面，故只有D选项满足条件．

→→→

2．O、A、B、C为空间四点，且向量OA，OB、OC不能构成空间的一个基底，则( ) →→→→→

A.OA、OB、OC共线 B.OA、OB共线 →→

C.OB、OC共线 D．O、A、B、C四点共面

→→→→→→

解析：选D.由OA、OB、OC不能构成基底知OA、OB、OC三向量共面，所以O、A、B、C四点共面．

3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________．

解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4,5)，b＝(1,2，－3)． 答案：(2，－4,5)，(1,2，－3)

4．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标． 解：根据空间直角坐标系中点的坐标的定义，可知

D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)．

一、选择题

1．下列说法中正确的是( )

A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等 解析：选C.A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项中，空间基底有无数个；D项中因为基底不惟一，所以D错．故选C.

2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：选C.如图：

→→→设a＝AB，b＝AA1，c＝AD，

→→则x＝AB1，y＝AD1， →z＝AC，

→

∴a＋b＋c＝AC1，由A、B1、C、D1四点不共面，知向量x，y，z也不共面，同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.

→

3．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为( ) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定

→→

解析：选D.AB＝－i＋j－k，只能确定AB的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．

→→→

4．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，→

则MN为( ) 121211A.a－b＋c B．－a＋b＋c 232322112221C.a＋b－c D.a＋b－c 223332

→→→→

解析：选B.MN＝MA＋AB＋BN 1→→→1→→＝OA＋OB－OA＋(OC－OB) 322→1→1→＝－OA＋OB＋OC.

322

5．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC→

外任一点，则下列能表示向量OP的为( ) →→→A.OA＋2AB＋2AC →→→B.OA－3AB－2AC →→→C.OA＋3AB－2AC →→→D.OA＋2AB－3AC

解析：选C.根据A、B、C、P四点共面的条件即可求得： →→→AP＝xAB＋yAC. →→→→

即OP＝OA＋xAB＋yAC，由图知x＝3，y＝－2.

→→→→→

6．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB、→

MC成为空间一组基底的关系是( ) →1→1→1→A.OM＝OA＋OB＋OC

333→→→B.MA＝MB＋MC →→→→C.OM＝OA＋OB＋OC →→→D.MA＝2MB－MC

→→→→

解析：选C.对于选项A，由结论OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，→→→→→→→→→MA，MB，MC共面；对于B，D选项，易知MA、MB、MC共面，故只有选项C中MA、MB、MC不共面．

二、填空题

7．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a、b的关系是________．

222

解析：∵a·b＝－6i＋8j－2k＝－6＋8－2＝0， ∴a⊥b.

答案：a⊥b

→→→

8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用AC，AB1，AD1作为基向量，则AC1＝________.

→→→→

解析：AC1＝AA1＋A1B1＋B1C1 →→→＝AA1＋AB＋AD 1→→→→→→＝[(AA1＋AB)＋(AA1＋AD)＋(AB＋AD)] 2

1→→→＝(AB1＋AD1＋AC) 2

1→1→1→＝AC＋AB1＋AD1. 222

1→1→1→答案：AC＋AB1＋AD1

222

→→

9．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________.

1

解析：如图，连结A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，

2

→1→∴EF＝A1D，

21→→

∴A1D＋λA1D＝0， 2

1

∴λ＝－.

21

答案：－

2

三、解答题

→→→

10．如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，

→→→→

E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示BF、BE、AE、EF.

→1→1→→解：BF＝BP＝(BO＋OP)

221→→1→→→＝(－OB＋OP)＝(－OA－OC＋OP) 22111＝－a－b＋c；

222

1→→→→→→1→

BE＝BC＋CE＝－OA＋CP＝－a＋(CO＋OP)

22

1→→11

＝－a＋(－OC＋OP)＝－a－b＋c；

222

111→→→→→1→→

AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c；

2222

→1→1→1EF＝CB＝OA＝a.

222

11．已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．

→

解：由已知p＝2a＋3b－c，

设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.

x＋y＋z＝2，??

由向量分解的惟一性，有?y＋z＝3，

??z＝－1，x＝－1，??

解得?y＝4，

??z＝－1，

∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为{－1,4，－1}．

→→→

12．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

→→

(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；

→

(2)若D1F＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

→→→→→→

解：(1)如图，D1B＝D1D＋DB＝－AA1＋AB－AD＝a－b－c，

1→→1→→1→→→1→1→

EF＝EA＋AF＝D1A＋AC＝－(AA1＋AD)＋(AB＋AD)＝(a－c)．

22222

1→1→→→→→

(2)D1F＝(D1D＋D1B)＝(－AA1＋AB－AD1)

221→→→→＝(－AA1＋AB－AD－DD1) 2111

＝(a－c－b－c)＝a－b－c， 22211

∴x＝，y＝－，z＝－1.

22