巧用锐角三角函数定义解题

巧用锐角三角函数定义解题

重庆 胡太白

锐角三角形函数是初中几何的重要内容，是解直角三角形的基础，利用锐角三角函数定义解题，往往使计算方便简洁．

一、求锐角三角函数值

例1 已知∠A为锐角，sinA=

5

，求其他三角函数值． 13

解：设∠A为某直角三角形的锐角，其对边a为5k，斜边c为13k(k＞0)，则∠A的邻边b为12k．

b12k12

根据定义，得cosA= = = ，

c13k13a5k5

tanA= = = ，

b12k12 cotA=

12． 5

sinA+2cosA

的值．

3sinA-cosA

二、求条件代数式的值

例2 已知∠A为锐角，tanA=2．求

解：设∠A为Rt△ABC的一锐角，其对边为a，斜边为c，邻边为b． a

∵tanA= =2，∴a=2b．

b∴c=5 b

a2b2

∴sinA= = =

c 5 b5

5 ，

bb5

cosA= = =

c55b25 5 +2×554

∴原式= = ．

525 3× 5 -55

三、比较三角函数值的大小

例3 已知α为锐角，比较sinα与tanα的大小

解：设α为Rt△ABC的一锐角，其对边为a，邻边为b，斜边为c． aa

∵sinα= ，tanα= ，

cb又∵c＞b＞0， aa

∴ ＜ ， cb

即sinα＜tanα．

四、证明相关关系式

例4 在Rt△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，求证：

b3sinA+a3sinB=abc．

证明：在Rt△ABC中，∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，

ab

∴sinA= ，sinB= ，a2+b2=c2，

cc

aab3+a3bab(b2+a2)c33b∴bsinA+asinB= b· + a = = = ab· =abc．

ccccc

3

3

3

五、求特殊角的三角函数值

例5 求tan15 的值． 解：如右图，作Rt△ABC，使∠C=90 ，∠B=30 ，延长CB到D，使BD=BA，则∠D=15 ，设AC=k，则AB=2k，BC=3 k． ∴CD=(2+ 3 )k．

∴tanD= ACk

CD = (2+ 3 )k

=

1

(2+ 3 )

=2-3

∴tan15 =2-3

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