精品-2018年中考数学真题分类汇编第三期专题37操作探究试题含解析

解得，

抛物线的解析式是y=x+x+3；

（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称， ∴对l上任意一点有MD=MC，

2

联立方程组解得

，

，

（不符合题意，舍），

∴B（﹣4，1），

当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，

过点B作BE⊥x轴于点E在Rt△BEC中，由勾股定理，得 BC=

=，

，

|MB﹣MD|取最大值为；

（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， 在Rt△BEC中，∵BE=CE=1， ∴∠BCE=45°， 在Rt△ACO中， ∵AO=CO=3， ∴∠ACO=45°，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°， 过点P作PQ⊥y轴于Q点，∠PQA=90°， 设P点坐标为（x，x+x+3）（x＞0） ①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，

2

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA， ∴即∴

==

， =，

=，

解得x1=1，x2=0（舍去），

∴P点的纵坐标为×1+×1+3=6， ∴P（1，6），

②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC， ∴△PGA∽△ACB， ∴即∴

==

， =3，

=3，

2

解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）

∴此时无符合条件的点P， 综上所述，存在点P（1，6）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏． 4.（2018·湖北咸宁·10分）定义：

我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解：

（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC． 求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2．

【解析】【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；

（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论； （3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH=FE?FG，再判断出EQ=FG?FE=8，即可得出结论．

【详解】（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，

∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形， 当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA， ∴

或

，

2

FE，继而求出

∴CD=10或CD=2.5

同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10， （2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=40°， ∴∠A+∠ADB=140° ∵∠ADC=140°， ∴∠BDC+∠ADB=140°， ∴∠A=∠BDC， ∴△ABD∽△BDC，

∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，

∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFG与△HFG相似，

∵∠EFH=∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴过点E作EQ⊥FG于Q，∴EQ=FE?sin60°=∵FG×EQ=2，∴FG×

2

，∴FH=FE?FG， FE，

2

FE=2，

∴FG?FE=8，∴FH=FE?FG=8，∴FH=2．

【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.

5.（2018·江苏镇江·9分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为 23 °． （2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9． 【画一画】

如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）； 【算一算】

如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D的长； 【验一验】

如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．