精品-2018年中考数学真题分类汇编第三期专题37操作探究试题含解析

操作探究

一.填空题

1.（2018·辽宁大连·3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为．

解：如图作A′H⊥BC于H．

∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣．

∵△CDF∽△A′HC，∴ 故答案为：6﹣2．

二.解答题

1. （2018·湖北江汉·10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ；

探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．

=

，∴

=，∴DF=6﹣2．

【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；

（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股

定理计算即可；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：（1）BC=DC+EC， 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，

∴BC=BD+CD=EC+CD， 故答案为：BC=DC+EC； （2）BD+CD=2AD， 理由如下：连接CE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，∠ACE=∠B， ∴∠DCE=90°， ∴CE+CD=ED，

在Rt△ADE中，AD+AE=ED，又AD=AE， ∴BD+CD=2AD；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE=9，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE=

∵∠DAE=90°，

=6，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴AD=AE=DE=6．

2．（2018·辽宁省阜新市）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D． （1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF； （2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°． ①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．

【解答】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°． ∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，AD=BD．

∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF； （2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，∴∠AMP=90°． ∵∠PAM=45°，∴∠P=∠PAM=45°，∴AM=PM． ∵∠BMN=∠AMP=90°，∴∠BMP=∠AMN．

∵∠DAC=∠P=45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN=PB，∴AP=AB+BP=AB+AN．在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，∴AP=AM，∴AB+AN=AM；

②在Rt△ABD中，AD=BD=AB=．

=

，

∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，∴∠BMD=90°﹣30°=60°．在Rt△BDM中，DM=∴AM=AD﹣DM=﹣

．

3. （2018?广安?10分）如图，抛物线y=x+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C.D两点，连接AC.BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；

（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得

，