随机振动 地震分析

1.2. 地震地面运动的随机模型

由于地震发生、震源机制、传播途径与场地条件等因素的随机性，使观测地震动加速度时程具有显著的随机性。地震动的随机性包括两个层面：一是地震活动的随机性，地震活动性指的是地震活动的时、空、强度和频度的规律；另一层面是地震动过程的随机性。基于随机过程理论研究地震动源于真实强震记录的获得，1947年Housner针对强震记录所表现出的强烈不规则性，提出用随机过程理论解释和描述地震动的加速度时程。至今，已有多种随机地震动模型提出。按所提出的随机地震动模型平稳与否，可以将现有的描述地震动随机性的方法归纳为平稳地震动随机模型和非平稳地震动模型。鉴于非平稳模型的不成熟性，在此只讨论平稳模型。

(1) 时域平稳模型

1947年，Housner提出用平稳脉冲序列模拟真实地震动，假定地震动加速度可以简化成一系列集中脉冲的集合，每个脉冲的大小一定，但到达时刻是随机的，其分布是均匀的。加速度的表达式为：

ag(t)=?iVd(t-ti)

(1.13)

式中，ag(t)为t时刻的加速度，V表示集中速度脉冲，d(t)为Dirac函数，

ti表示第i个脉冲的到达时刻。尽管这个模型存在着一些问题，但作为一个开创

性工作是值得充分肯定的。Goodman等推广了Housner的概念，仍然假定地震动加速度为一系列集中脉冲，但不仅每个脉冲的到达时刻是随机的，而且大小也是随机的。彼此独立，有相同的分布。时域平稳模型只能在现象上获得和真实地震动相似的时间序列，但是真实地震动的特征，如能量在频域的分布等，无法通过这种方法体现。因此，在工程上时域平稳模型没有得到广泛的应用。

(2) 频域平稳模型

和时域上模拟相比，在频域上进行地震动模拟的研究更为活跃。针对地震动加速度时程功率谱并不是常数这一特点，Kanai提出了过滤白噪声模型。他假定基岩传来的地震波是白噪声，基岩上的土层为单自由度体系，求这个单自由度体系的绝对加速度功率谱，并用这个谱来模拟地表加速度功率谱。谱的表达式为：

骣2?w÷÷1+4xg??w÷÷?桫g÷轾犏犏1-犏犏臌222

SA(w)=骣骣w鼢珑2w鼢珑+4xg鼢珑鼢wg鼢wg珑桫桫2 S0

(1.14)

式中，wg,xg分别为场地土卓越频率和阻尼比，S0为白谱强度，这个谱具有

单峰形状。后来Tajimi用上式求解了建筑物结构的最大反应。1964年，Housner 和Jennings根据美国若干地震动记录确定了Kanai公式中的参数，并证明了无阻尼速度反应谱和功率谱有近似关系。由Kanai-Tajimi模型可容易地得到地面运动速度和位移的功率谱函数

Sv(w)=w-2SA(w) Sx(w)=w-4SA(w)

(1.15) (1.16)

但是，当w=0时，Sv(w)和Sx(w)出现明显的奇异点，它使地面速度和位移无界，这显然是与实际不符合的。

为了克服这一缺点，胡聿贤和周锡元引入一低频减量wc，提出一种修正模型：

wnSA(w)=鬃nS0 2222n(wg-w)+(2xgwgw)w+wc4wg+(2xgwgw)2(1.17)

式中，S0为白噪声功率谱密度；xg为地基过滤器阻尼比；wg为地基过滤器圆频率；wc为低频减量；n为参数，取4～6。

为了保持Kanai-Tajimi谱的原有特征，Ruiz和Penzien建议了另外一种削减低频的模型：

SA(w)=鬃S0 222w22www222(1-2)+4xg(1-)+4x1222wgwgw1w1w21+4x2wg2gw44w1(1.18)

其中，频率参数w1和阻尼参数x1是为了给出所需要的过滤特征而选择的。

针对过滤白噪声模型无法反映基岩加速度频率特性的问题，松岛丰在过滤白噪声模型的基础上，将基岩地震动的谱密度由白噪声过程修正为马尔柯夫有色谱：

SA(w)=(1-w21+4x2wg2g22w2w2w)+4x1+g222wgwgwh 12S0

(1.19)

式中，wh是反映基岩特性的谱参数，可取为wh=8prads，这一模型仍然有Kanai谱同样的缺点，即地面速度和位移的方差无界。

由上述随机地震动模型可以看出，以平稳过程功率谱密度函数描述的随机地震动模型的发展，实际上是一个基于白噪声模型或过滤白噪声的改进过程。同时应该指出，过于复杂的模型形式并没有在本质上改善模型精度，反而是形式最简单的Kanai-Tajimi模型应用最广泛。虽然，该模型积分将使地面速度和位移功率谱无界，但是由于现在更多的将随机振动问题转化到时域处理，该缺点已经显得无足轻重。但是，当w=0时，Sv(w)和Sx(w)出现明显的奇异点，它使地面速度和位移无界，这显然是与实际不符合的。

()2. 线性体系随机振动的反应分析

2.1. 单自由度体系的随机振动 时域分析

单自由度体系的运动微分方程为：

&&&mu(t)+cu(t)+ku(t)=P(t)

(20)

式中m为质量，c为阻尼，k为刚度，P(t)为外力，u(t)为质点位移响应。将上式两边同除以m，可写成常用的标准形式，

式中：w1=2&&&u(t)+2x1w1u(t)+w1u(t)=F(t)

(21)

P(t)ckF(t)=，单自由度体系的自振频率； x1=，阻尼比；，

mm2km单位质量的外激励。

对于大多数工程结构而言，x1=1，此时方程的解为： 式中：

数学期望：

1u(t)=蝌F(t)h(t-t)dt='0w1tt0F(t)e-x1w1(t-t)'sinw1(t-t)dt

(22)

h(t)=1-x1w1t'esinw, t 0 1'w1(23)

自相关函数：

Eu(t)=ò￥- EF(t-t1)h(t1)dt

1(24)

Ru(t1,t2)=Eu(t1)u(t2)

=蝌 =蝌-?-?ゥゥ EF(t1-t1)F(t2-t2)gh(t1)gh(t2)dt1dt2 RF(t1-t1,t2-t1)h(t1)h(t2)dt1dt2(25)

由以上两式，只要输入EF(t-t1)、RF(t1-t1,t2-t2)已知，通过脉冲响应函数h(t)，即可求出有关的值。如果F(t)为平稳随机过程，则

EF(t-t1)及RF(t1-t1,t2-t2)与t无关，通过积分后，仍然与t无关，即输入是平稳的，输出亦是平稳的。同理，输入如是各态历经的，则输出亦是各态历经的。 频域分析

在时间域计算统计值一般比较复杂，常涉及繁琐的积分运算，因而常把它变换到频域中去，可有一定的简化。利用维纳－辛钦关系式可得频域的功率谱密度为：

Sx(w)=1￥-iwtRedtòu- 2p 1ゥ-iwt =R(t+t-t)h(t)h(t)edt1dt2dt蝌 F1212-?? 2pゥ iwt-iwt =蝌h(t1)e1dt1gh(t2)e2dt2g SF(w)eiwtdt =ò-?￥- ? (26)

H(iw)SF(w)eiwtdw2式中：

H(iw)=h(t)=12pò￥- ￥h(t)e-iwtdt

H(iw)eiwtdw

(27) (28)

ò- H(iw)是h(t)的傅立叶变换。h(t)是系统对于单位脉冲函数（即?函数）的响应，称为脉冲响应。因此H(iw)亦有相应的意义。实质上，因为H(iw)是

F(t??1)?e?i??1即F(t)=eiwt=1时、系统的位移响应u(t)，因此，如设输入

F(t)=eiwt时，系统的平稳响应为：

y(t)=H(iw)eiwt (29)

h(t)是系统对于单位脉冲函数的响应，称为脉冲响应，表征着时域内的响应