考点17 正弦定理和余弦定理

考点17 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4)钝角三角形ABC的面积是

1,AB=1,BC=2,2则AC= ( ) A.5 B.错误！未找到引用源。 C.2 D.1

【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC. 【解析】选B.因为S△ABC=所以B=

1112acsinB=?2?1·sinB=,所以sinB=, 2222?3??或.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去. 4443?（2）所以B=,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=错误！未找到引用源。.故选

4B.

二、填空题

2. (2014·湖北高考文科·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=错误！未找到引用源。,a=1,b=错误！未找到引用源。,则B= . 【解析】依题意,由正弦定理知错误！未找到引用源。=π,

2?. 32?答案:错误！未找到引用源。或

333,得出sinB=.由于0

【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角,所以由sinB=

3得到两个结2果:B=错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。.本题的易错点是漏掉其中一个. 3.(2014·广东高考理科)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,a则= . b【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b, 即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,

即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB, 有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,错误！未找到引用源。=2.

方法二:如图,作AD⊥BC于点D, 则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即错误！未找到引用

源。=2.

答案:2

?a?ccosB?bcosC,?【创新提示】熟用三角形射影定理?b?acosC?ccosA,可迅速得解.

?c?acosB?bcosA?4.（2014·福建高考文科·Ｔ14）14．在?ABC中，A?60?,AC?2,BC?3,则AB等于_________

【解题指南】直接应用余弦定理求解。

?【解析】由余弦定理BC2?AB2?AC2?2AB?AC?cosA，得3?AB2?4?2?2AB?cos60，

即AB2?2AB?1?0，解得AB?1． 答案：1．

5.（2014·福建高考理科·Ｔ12）

在?ABC中，A?60?,AC?4,BC?23,则?ABC的面积等于_________ 【解题指南】先利用余弦定理求出AB，再由面积公式求解。

?cosA【解析】由题，BC2?AB2?AC2?2AB?AC，

即12?AB2?16?2?4?AB?11，解得AB?2，所以S?AB?AC?sinA?23． 22【答案】23 6. （2014·山东高考理科·Ｔ12）

?????????在?ABC中，已知AB?AC?tanA，当A?时，?ABC的面积为 . 6【解题指南】本题考查了平面向量的数量积及三角形的面积公式，先利用数量积的定义写出等式，再利用面积公式求出三角形面积.

????????????????【解析】由已知及平面向量数量积的定义可得AB?AC?ABACcosA?tanA，

所以AB?AC?tanA112?16?2，所以S??AB?ACsinA???sin? ?ABC22366cosAcos?36tan?1答案：.

67. （2014·山东高考文科·Ｔ12） 函数y?32sin2x?cosx的最小正周期为 . 2【解题指南】本题考查了三角恒等变换知识，可先降幂，再化为一个角的三角函数.

【解析】：y? ?T?3311??1?sin2x?cos2x?sin2x?cos2x??sin?2x??? 22226?2?2???. 2答案：T??

8. （2014·天津高考理科·Ｔ12）在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知

b-c=1a，2sinB=3sinC，则cosA的值为_______. 43c，a=2c. 2C，所以2b=3c，解得b= 【解析】因为2sinB=3sinb2+c2-a21=-. 所以cosA=2bc4【答案】-1 4三、解答题

9、. （2014·湖南高考理科·Ｔ18）（本小题满分12分）

如图5，在平面四边形ABCD中，AD＝，1CD＝2，AC＝7. （1）求cos?CAD的值； （2）若cos?BAD??721,sin?CBA?,BC的长． 求146

【解题提示】 利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解。

AC2?AD2?CD2【解析】（1）如图5，在?ADC中，由余弦定理，得cos?CAD?

2AC?AD由题设知，cos?CAD?7?1?427?.

727（2）如图5，设?BAC?a,则a??BAD??CAD. 因为cos?CAD?277,cos?BAD??,所以 714

sin?CAD?1?cos2?CAD?1?(27221)?, 7772321)?. 1414sin?BAD?1?cos2?BAD?1?(?于是

sina?sin(?BAD??CAD)321277213

?sin?BADcos?CAD?cos?BADsin?CAD???(?)??.1471472在?ABC中，由正弦定理得，

7?BCAC?. sinasin?CBA故BC?AC?sina?sin?CBA32?3. 21610. （2014·浙江高考文科·Ｔ18）在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，

4sin2A?B?4sinAsinB??222已知

（1）求角C的大小；（2）已知b?4，?ABC的面积为6，求边长c的值

sin2A?B1?cos(A?B)?22，

【解析】（1）因为

4sin2所以

A?B?4sinAsinB2 =2?2cos(A?B)?4sinAsinB =2?2(cosAcosB?sinAsinB)

cosC?2?C?2，4。

=2?2cos(A?B) =2+2cosC=2+2 所以

121?6S?ABC?absinC??a?4?222（2）由正弦定理知， 所以a?32；

222由余弦定理知，c?a?b?2abcosC，

所以

c2?(32)2?42?2?32?4?22 =10， 所以c?10 所以当b?4，?ABC的面积为6时，边长c的值为10. 11. （2014·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在?ABC中，内角A,B,C所对的