2020届高考数学二轮教师用书：层级二 专题四（理）第3讲 立体几何中的向量方法

(2019·沈阳三模)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别是PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.

(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE； (2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE. [证明]

(1)如图，连接OP，∵PA＝PC，∴OP⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC.以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－8，0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4，0,3)．

由题意，得G(0,4,0)．

→→

因为OB＝(8,0,0)，OE＝(0，－4,3)， 所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)．

→→由FG＝(－4,4，－3)，得n·FG＝0.又直线FG不在平面BOE内， 所以FG∥平面BOE.

(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)， →

则FM＝(x0－4，y0，－3)． 因为FM⊥平面BOE，

9→

所以FM∥n，因此x0＝4，y0＝－，

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4，－，0?. 即点M的坐标是?4??

x＞0，??y＜0，

在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组?x－y＜8，

??z＝0.经检验，点M的坐标满足上述不等式组． 所以，在△AOB内存在一点M， 使FM⊥平面BOE.

9

由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.

4

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方向证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

(2019·淄博三模)如图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.

(1)求证：EF∥平面PAB. (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. 证明：

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图111

，1，?，F?0，1，?，所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,1)，所以E?2?2? ?2?

1→→→→→

－，0，0?，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)． EF＝??2?1→→→→(1)因为EF＝－AB，所以EF∥AB，

2即EF∥AB.

又AB?平面PAB，EF?平面PAB，

所以EF∥平面PAB.

→→

(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， →→AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， →→→→所以AP⊥DC，AD⊥DC， 即AP⊥DC，AD⊥DC.

又因为AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD， 所以DC⊥平面PAD.

因为DC?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.

热点二 利用空间向量求空间角

[例2] (2019·天津卷)

如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. (1)求证：BF∥平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

1

(3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．

3

[审题指导] 由条件知AE，AD，AB互相垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量解决． →→

(1)证明BF与平面ADE的法向量AB垂直即得线面平行，也可以通过证明平面ADE与平面BCF平行来实现线面平行的转化．

→

(2)CE与平面BDE的法向量所成角的余弦值的绝对值，即为所求直线与平面所成角的正弦值．

(3)设CF＝h，用h表示二面角EBDF的余弦值，通过解方程得到线段长． [解析]