一本 高考2016届高三（新课标版）数学（理）二轮专题复习（讲解+练习）：专题五 导数及其应用 - 图文

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(2015·陕西，15，易)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

【解析】 设P(x0，y0)(x0>0)， 由y＝ex，得y′＝ex， ∴y′|x＝0＝1.

11由y＝x，得y′＝－x2，

1

∴－x2＝－1，

0

∴x0＝1或x0＝－1(舍去)， 1

∴y0＝1＝1，

∴点P的坐标为(1，1)． 【答案】 (1，1)

1．(2011·江西，4，易)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( ) A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0)

【答案】 C f(x)的定义域为(0，＋∞)， 4又由f ′(x)＝2x－2－x 2（x－2）（x＋1）＝>0，

x解得－12，

所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．

2．(2011·大纲全国，8，中)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )

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A.3 B.2 C.3 D．1

【答案】 A ∵y′＝－2e－2x，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，

121?22?其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A?3，3?，所以三角形面积S＝23133＝3，故选A.

??3．(2012·广东，12，易)曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为________．

【解析】 ∵y′＝3x2－1，∴y在点(1，3)处的切线斜率k＝2，由点斜式方程，得切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

【答案】 2x－y＋1＝0

4．(2014·广东，10，易)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

【解析】 ∵y′＝－5e－5x，∴k＝y′|x＝0＝－5，故所求切线方程为y－3＝－5x，即5x＋y－3＝0. 【答案】 5x＋y－3＝0

b5．(2014·江苏，11，中)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋x(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

bb

【解析】 因为曲线y＝ax2＋x过点P(2，－5)，所以4a＋2＝－5.①

bb7

又y′＝2ax－x2，且曲线在点P(2，－5)处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，所以4a－4＝－2.② ?a＝－1，

由①②解得?所以a＋b＝－3.

?b＝－2.【答案】 －3

ln x

6．(2013·北京，18，13分，中)设L为曲线C：y＝x在点(1，0)处的切线． (1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方． 1－ln xln x

解：(1)设f(x)＝x，则f ′(x)＝x2.

所以切线的斜率k＝f ′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.

(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(?x＞0，x≠1)． x2－1＋ln xg(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.

x2当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0， 所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x＞1时，x2－1＞0，ln x＞0， 所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)＞g(1)＝0(?x＞0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．

考向1 导数的运算

1．基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 2.运算法则 (1)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′（x）g（x）－f（x）g′（x）?f（x）?

?′＝③?(g(x)≠0)．

[g（x）]2?g（x）?(2)复合函数的求导法则

y＝f(u(x))的导数为y′x＝y′u2u′x.

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a(a>0) f′(x)＝ex 1f′(x)＝xln a(a>0，且a≠1) 1f′(x)＝x (1)分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导，做到不重不漏．

(2)特别要注意的是中间变量的系数，避免出现(cos 2x)′＝－sin 2x的错误．

(1)(2014·大纲全国，7)曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )

A．2e B．e C．2 D．1

(2)(2015·浙江温州高三月考，5)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( ) A．－e B．－1 C．1 D．e

(3)(2013·江西，13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________． 【解析】 (1)∵y′＝x′·ex－1＋x·(ex－1)′＝(1＋x)ex－1， ∴曲线在点(1，1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.