理论力学思考题习题参考答案

第一章 质点力学

1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：a?c??1?t???sin2T?? 式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。

解 ：由题可知，变加速度表示为

a?c???1?sin?t?2T? ?由加速度的微分形式我们可知a?dvdt

代入得 dv?c???1?sin?t?2T? ?dt对等式两边同时积分

?vdv?c?t???t?

00?1?sin2T??dt可得 ：v?ct?2T?ccos?t2T?D（D为

常数）

代入初始条件：t?0时，v?0， 故D??2T?c

即v?c??t?2T??t?? ????cos2T?1????又因为v?dsdt

所以 ds?c???t?? ?t?2T????cos2T?1????dt对等式两边同时积分，可得：

s?c??1?2t2?2T?2T?t??????sin2T?t??? ?1.8 直线FM在一给定的椭圆平面内以匀角速?绕其焦点F转动。求此直线与椭圆的焦点M的速度。已知以焦点为坐标原点

的椭圆的极坐标方程为r?a?1?e2? 1?ecos?式中a为椭圆的半长轴，e为偏心率，常数。

解：以焦点F为坐标原点

yMOF??x

题1.8.1图则M点坐标 ??x?rcos? ?y?rsin?对x,y两式分别求导

????x??r?cos??r?sin? ??y??r?sin??r??cos?故

v2?x?2?y?2??r?cos??r??sin??2??r?sin??r??cos??2?r?2?r2?2 如图所示的椭圆的极坐标表示法为

r?a?1?e2? 1?ecos?对r求导可得（利用????） 又因为

1?1?e?cos?r?a1?e2?a1?e2? 即 cos??a?1?e2??r

re所以

sin2??1?cos2??1?故有 v?2a1?e2?22?22为常数 vx?2vy?C,C?r?2ar1?e

对等式两边求导 r2e22??e2?2r4a21?e2??2sin2??r2?2

2vxdvydvx?2vy?0 dtdt?e2?2r4a21?e2所以 a?v?0正交.

??21.11 质点沿着半径为r的圆周运动，加速度

[1?a21?e2??2?r2?2

?r2?2ar1?e2]r2e2??矢量与速度矢量间的夹角?保持不变。求质 点的速度随时间而变化规律。出速度为v0。

解 由题可知速度和加速度有关系如

?e2r2?r2?2ar1?e2?r2?2?2???2a1?e?1?e2??2r2?2?2a?r?r b????v图1.11.1所示

?题1.11.1图a

即 v?r?r?2a?r?（其中

bb2?1?e2a2,b为椭圆的半短轴）

1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。

???v2a??asin???nr??a?dv?acos?t?dt?2v1dv两式相比得 ?? rsin?cos?dt

证：质点作平面运动，设速度表达式为 v?vxi?vyj令为位矢与轴正向的夹角，所以

dvdvxdidvydja??i?vx?j?vydtdtdtdtdt?dvx??dvy???? ???vy??i???v?x?j??dt??dt?即 1cot?dt?dv

rv2对等式两边分别积分

?t0v1dv cot?dt??v0rv2即

?dvy??dv?????a???x?vy?i??v???x?j?dt??dt???vxi?vyj?

dv??v?vxx?vxvy?ydtdv?vxx?vydtdvydtdvy dt??vxvy??11t??cot? vv0r此即质点的速度随时间而变化的规律

1.19 将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即

R?mk2gv2。如上抛时的速度为v0，试证

此质点又落至投掷点时的速度为

又因为速率保持为常数，即

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v1?v01?kv220

解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正

?a??b?

Fx?6abz3y?20bx3y2，

vmgRFy?6abxz3?10bx4y，Fz?18abxyz2

F?iFx?x??jFy?y??kFz?z?

Rv

解 （a）保守力F满足条件??F?0对题中所给的力的表达式 ，代入上式

mg上升时 下降时 题1.19.1图

则两个过程的运动方程为： 上升 m????mg?mk2gy?2 ① y下降： ?m????mg?mk2gy?2 ② y对上升阶段: dv??g?1?k2v2?

dtdvdyvdv???g1?k2v2 dydtdyi???F??xFxj??yFyk??zFz??Fz?Fy???Fx?Fz???Fy?Fx?????y??z??i???z??x?j????x??y??k???????18abxz2?18abxz2i?18abz2y?18abz2yj?

??6abz??3?40bx3y?6abz3?40abx3yk???0所以此力是保守力，其势为

??V??F?drx,y,z0,0,0即 vdv??gdy

1?k2v2对两边积分

???????Fdx?Fdy?Fdz???xyz?0v0hvdv???gdy 2201?kv?????6abz0,0,0?x,0,0?3y?20bxydx?32?????6abxzx,0,0?x,y,0?3?1012所以 h?2ln1?k2v0 ③

2kg?????x,y,z?x,y,0?18abxyz2dz?5bx4y2?6abxyz3即质点到达的高度.

对下降阶段： dvdy?vdv?g?k2gv2

dydtdy即

h?? (b)同（a），由

?v100vdv?gdy 22?h1?kv122ln1?kv1 ④ 22kgi???F??xFxj??yFyk??zFz??由③=④可得 v1?v01?kv220

??Fz?Fy???Fx?Fz????y??z??i???z??x????0所以此力F是保守力，则其势能为

???Fy?F?j????x??y??1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。

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V??F?drxB????xAFxdx??yByAFydy??zB

zAFzdz做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。 所以

1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的

?arke引力具有势能：V?r??,k＜0 r试求?a?中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；

E?T?V1 ?mv2?V?a?2k?1??a?e??ake??ak?1??a?e??a????2aa2a1.43 质点所受的有心力如果为

?b?求质量为m的粒子作半径为a的

圆运动的动量矩J及能量E。

??2??式中?及?都是常数，F??m??r2?r3????并且?＜h2，则其轨道方程可写成

解 （a）因为质子与中子之间引力势

ke??r能表达式为 V?r???k?0?

r故质子与中子之间的引力

r?2a试证明之。式中1?ecosk?dV?r?d?ke??rF?r??????drdr??rke??r?ke??r?2?rrk?1??r?e??r?r2????h2??k2h2Ak2h2（为k?,a?2,e?Ah2??2积分常数）。

证

由毕耐

2?F22?du? ???hu??u??m?d?? 公式

（b）质量为m的粒子作半径为a的圆

运动。动量矩 J?r?mv

k?1??r?e??r由（a）知 F?r?? 2rF?r?提供粒子作圆周运动的向心力，

?2cos2??25du13?F?r?方向是沿着径向， ???sin2???cos2??2?2sin2?? 23a??cos2??22?d?k?1??r?e??rv2???m故 ? 151????2rr2??2?cos2??2?3sin2??cos2??2?

?当半径为a的圆周运动 a?2?k?1??a?e??av222?du??故 F??mhu?u??m ?d?2? 2??aa315?11??2两式两边同乘以ma 即 ??mh22?3sin2??cos2??2???2cos2??3??a222acos2?cos??mk?a1??a?e?mva

33mh2?又因为 J?mva ??3?cos2??2?1?tan22??2a有 J??mk?a1??a?e??a

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质点所受有心力做双纽线

r2?a2cos2?运动

11u??故

racos2?du11??sin2?? 3d?a?cos2??2