空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案

【例7】(2012江西)在三棱柱 ABC - AiBiCi中，已知AB = AC = AA二J5 , 影是线段BC的中点O。

(1)证明在侧棱 AAi上存在一点E ,使得OE _平面BBiCiC ,并求出AE的长;

BC = 4，点Ai在底面ABC的投

i

Bi

(2)求平面 ABiC与平面BBiCiC夹角的余弦值。

【解析】上2，_2°

5 i0

【例 8】(20i2 湖南)四棱锥 P-ABCD中，PU平面 ABCD AB=4, BC=3 AD=5, / DAB2 ABC=90 , E是 CD的中点.

(I)证明：CD丄平面PAE

(H)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】V =1 S i6 LJ 3

5 i5

3

【 例 (i)

(2)

(3)

9】(20i2广东)如图所示，在四棱锥

P-ABCD 中，AB_ 平面 PAD , PH为 PAD中AD边上的高。

1

F是DC上的点，且DF AB ,

证明:

2

求三棱锥E -BCF的体积;

PH _ 平面 ABCD ;

若PH =i, AD =2,FC =i , 证明: EF _ 平面 PAB .

图5

【解析】三棱锥E- BCF的体积V

3 B

=1S BCF h =丄丄 FC AD h =丄 i .2

3 2 6 2 i2

【例i0】(20i2新课标)如图，直三棱柱 ABG ABC中，AC=BC』AA, D是棱AA的中点，DC丄BD 2

5

(1) 证明：DC丄BC； (2) 求二面角A— BD- C的大小.

Bl

【解析】二面角 A<| - BD - C1的大小为30

B

【例11】如图所示，在四棱锥 P 一 ABCD中，底面ABCD为矩形， 平面BDE -

(1) 证明：BD _平面PAC ;

(2) 若PA =1, AD =2，求二面角B-PC-A的正切值. 【解析】二面角 B - PC - A的平面角的正切值为 3

PA_平面

【例12】(2012天津)如图，在四棱锥P - ABCD中，PA丄平面ABCD , AC丄AD , AB丄BC , ABC =450,

PA=AD=2 , AC=1.

(I)证明PC丄AD ;

(n)求二面角 A - PC - D的正弦值；

(川)设E为棱PA上的点，满足异面直线

BE与CD所成的角为300，求AE的长.

【解析】

30 6

10 10

C

【课堂练习】

1、 (2012上海)若n = ( -2,1)是直线I的一个法向量，则I的倾斜角的大小为 ____________ (用反三角函数值表示) 2、 ( 2012四川)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CG的中点，则异面直线 AM与DN 所成角的大小是

1

6

3、(2012全国卷)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为菱形,

E是PC上的一点，PE =2EC。

(I)证明：PC _平面BED ;

(n)设二面角A - PB -C为90：，求PD与平面PBC所成角的大小。

4、(2010辽宁理) 已知三棱锥 P- ABC中，PU ABC AB丄 AC PA=AC=AB, N 为 AB上一点，AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点.

(I)证明：CML SN

(n)求SN与平面CMF所成角的大小

5、(2010辽宁文)如图，棱柱 ABC -ABiG的侧面BCCiB是菱形，BiC _ AiB

(I)证明：平面 ABiC _平面ABG ；

(n)设D是AiCi上的点，且 AB//平面BiCD，求AD :DCi的值.

6、( 20i0全国文)如图，直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AC=BC AA i =AB D为BB,的中点，E为ABi上的一点，AE=3EBi

(I)证明：DE为异面直线 ABi与CD的公垂线； (n)设异面直线

与CD的夹角为45° ,求二面角Ai-ACi-Bi的大小

7

7、( 2010江西理)如图△ BCMA MC［都是边长为2的正三角形，平面MC吐平面BCD, AB丄平面BCD AB = 2 J3。

(1) (2)

求点A到平面MBC的距离；

求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

8、( 2010重庆文)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA _底面ABCD，PA=AB=T2，点E是棱PB 的中点?

(I)证明：AE _平面PBC ;

(n)若AD =1 ,求二面角B - EC - D的平面角的余弦值

9、(2010浙江文)如图，在平行四边形 ABCD中, AB=2BC / ABC=120。 E为线段 AB的中点，将△ ADE沿直线DE

翻折成△ A' DE,使平面A' DE!平面BCD F为线段A C的中点。

(I)求证：BF//平面 A' DE;

(n)设M为线段DE的中点，求直线 FM与平面A DE所成角的余弦值。

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