江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第二学期第一次模拟考试数学试题含附加题

江苏省南师附中2020届高三年级第一次模拟考试

数学Ⅰ

2020.03.19

注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上． 3．作答题目必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚． 21n1n参考公式：1．样本数据x1，x2，…，xn的方差s??xi?x，其中x??xi；

ni?1ni?12??2．圆锥的体积V?1Sh，其中S是圆锥的底面圆面积，h是高． 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1．集合A0,ex，B???1,0,1?，若A?B?B，则x?________． 2．复数z???1?2i（i是虚数单位）的虚部是________． i3．log24?log42?________．

4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为________．

5．在?ABC中，a?4，b?5，c?6，则

sin2A?________． sinC?π?

?的值为________．

6??

6．已知函数f?x??sin?x????3cos?x???，若f?x?是奇函数，则f?0???x，

7．已知f?x??log3x，若a，b满足f?a?1??f?2b?1?，且a?2b，则a?b的最小值为________． 8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为________．

x2y219．若抛物线x?4y的点到双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的近线距离等于，则双曲线C的

ab32离心率为________．

10．设m，n为空间两条不同的直线，?，?为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若mP?，mP?，则?P?； ③若mP?，mPn，则nP?； 其中的正确命题序号是________．

②若m??，mP?，则???； ④若m??，?P?，则m??．

rrrr1l．设x?0，y?0，向量a??1?x,4?，b??x,?y?，若aPb，则x?y的最小值为________．

12．在?ABC中，点P是边AB的中点，已如CP?3，CA?4，则CP?CA?________． 13．已知正数a，b，c满足b?2?a?c?b?ac?0，则

2b的最大值为________． a?cm2x?1?0?m?0?对一切x?4恒成立，则实数m的取值范围是________． 14．若

mx?1二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算．

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，且AB=2，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，

PA?DE．

(1）求证：EFP平面PAD；（2）求证：平面PAC?平面PDE．

16．在三角形ABC中，已知tanB?101，cosC??．

102（1）求角A的值；（2）若?ABC的面积为

3，求边BC的长． 1017．建造一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2．

（1）求总造价y（单位：元）关于底边一边长x（单位：m）的函数解析式，并指出函数的定义域； （2）如果要求总造价不超过2080元，求x的取值范围； （3）求总造价y的最小值．

x2y2?1，若圆O：x2?y2?R2?R?0?的一条切线与椭圆C18．在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：?63uuuruuur有两个交点A，B，且OA?OB?0．

（1）求O的方程；

uuuuruuur（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且MN?2NQ，

求直线MN的方程．

19．已知函数f?x??ax2?2xlnx???a2x?1?a?R?． 2（1）若曲线y?f?x?在x?1处的切线的斜率为2，求函数f?x?的单调区间；

（2）若函数f?x?在区间?1,e?上有零点，求实数a的取值范田（e是自然对数的底数，e?2．71828L） 20．已知数列?an?、?bn?、?cn?，对于给定的正整数k，记bn?an?an?k，cn?an?an?kn?N*．若对任意的正整数n满足：bn?bn?1，且?cn?是等差数列，则称数列?an?为“H?k?”数列．

2（1）若数列?an?的前n项和为Sn?n，证明：?an?为H?k?数列；

??（2）若数列?an?为H?1?数列，且a1?1，b1??1，c2?5，求数列?an?的通项公式；

（3）若数列?an?为H?2?数列，证明：?an?是等差数列．

数学Ⅱ（附加题）

2l．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答理区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A???10??2a?，，且AB?BA B?????02??01?（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值．

B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

3?x?t??5在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：?（t为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴

?y?4t?5?为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为??2cos?，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长． C．[选修4-5：不等式选讲]

已知x1，x2，x3??0,???，且满足x1?x2?x3?3x1x2x3，证明：x1x2?x2x3?x3x1?3

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说．．．．．．．．明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

uuuruuur如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC?AB???R?，

uuuruuur15PC且向量与BD夹角的余弦值为．

15

（1）求?的值：（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．