2014高校自主招生北约模拟试题

测试一答案与提示：

1.提示：两边取对数，ln(f(x+y))=ln(f(x))+ln(f(y)),由柯西准则lnf(x)=x, f(x)=e^x.

2.提示：f(1,1)=1, f(m,n+1)=f(m,n)+2,f(m+1,1)=2f(m,1). F(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2^(m-1)+2(n-1)

3.令x?y?z,则w!?3z!, （z+1)!?3z! x=2,y=2,z=2,w=3.

4.提示：解析法设点P位(p,1),求出其他五点的坐标，根据三角形CPM可以确定圆的方程。也可以用平面几何的方法。

5.提示：

1352n?1用数学归纳法证明sn?1????2462n或运用放缩法?ak??ak?2nan??ak?2(n?3)an?1??ak?2(n?1)an?1k=1k=1k=1k=1nn-1n-1n-2

测试二答案与提示： 1.略

2.提示：空间向量OP=aOA+bOB, |OP|≤a|OA|+b|OB|，或两边平方运用柯西不等式。

3. 参考：这是个动态规划问题，可将方案（2）放在第一段，（200，x1）,

第二段（s1,x2）（方案1）,第三段（s2,x3）: s1=200-x1,s2=s1-x2 第三段最大收入f3 (s2)=max(3x3+1, x3?s2)=3s2+1.

第二段最大累计收入（从后往前）f2 (s1)=max(4x2-2+f3 (s1-x2))

=max(x2+3s1-2, x2?s1)(?s1?150, ?x2=95)=3s1+93

121x1-x1+2+f2(200-x1))

51612x1-3.2x1+693, 5?x1?50) x1=25.6取最大值 =max(16总收入f(200)=max(

4.提示：a+b=5/4, ab=5/16,用数学归纳法证明

5.提示：设Q为(x0,y0),极线方程为yy0=p(x+x0),与抛物线y^2=2px联立，由韦达定理得证。

测试三答案与提示： (1).

f(x)?a(x?1)?xa?1,f'(x)?a(1?xa?1),当x?1时，f(x)减，当x?1时，f(x)增，f(x)

(4)提示：用希腊字母α，β，θ，δ表示∠ADE, ∠ADF, ∠EDC, ∠FDB, α +β=90°。

ADABs?inADAC?sin??,同理??,可得??? DCBCsin?DBBCsin?ADsiCnAEABCsin ????ADCsinECBCsinA2

∠A=120°。

(5)提示：令x=y,可求出f(x). g(x)-(sinx-cosx)/2是常数。

测试四答案与提示：

1.提示：设k第一位数字为a,则k0≤(a+1)10^(n-1).

当k≥a4444…445时，k0/k≤(a+1)10^(n-1)/ a4444…445 当k≤a4444…444时，k0≤k

e(3/4)?2.答案： ?2(e?1)

3.不存在，提示：令y=1,xf(x)=f(1),可得f(1)=0,f(x)=0.

Zk=xk?iyk,1??|Zk|??|xk|??|yk|4.提示：

k?1k?1k?1nnn

? 5.

xk?0?|xk|??|yk|??|xk|??|yk|yk?0xk?0yk?033ab，提示：椭圆的平行y轴伸缩后可得圆。 4测试五参考与提示 1.5/4

2.a=2,b=3.

3.无，提示：若a>0,则f(x)>x. 4.(1)10；(2)略.

5.提示：(1+x)^n×(1+x)^n=(1+x)^2n

测试六答案与提示：

1.an=16×2^(n-1)-14×3^(n-1)

2.3121.提示：迭代函数，首先找不动点r, f(x)=(x-r)p(x)+r 3.提示：ad1+bd2+cd3=2S,运用柯西不等式得证。

x2y24. ??1,x2?y2?3.提示：BP?CP是定值；延长CQ交BP于D，BD是定长。365.atan1,atan2,atan3. 提示：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC x、y、z,为整数，xy=(x+y+z)/z<3

测试七答案与提示：

1.x^2+y^2=a^2+b^2.提示：切点相当于在x轴（或y轴）上找一点P,使得PF1+PF2最小. 2.提示：可以讨论b的取值范围，也可以用不动点f(x)=(x-x1)p(x)+x1及f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 3.10^0.5,提示：构造点P（x,x^2）到点(3,2),(0,1)的距离差。

4.203.提示：n=1,一种；n=2,1+5:c(6,1)=6,2+4:c(6,2)=15,3+3:c(6,3)/2=10;n=3,1+1+4:c(6,4)=15，1+2+3：c(6,3)×c(3,1)=60,2+2+2：c(6,2)×c(4,2)×c(2,2)/3!=15;n=4,65;n=5,15;n=6,1. 5.6. 提示：设a(k)为第k天颁发前的枚数，则a(k+1)=a(k)-k-[a(k)-k]/7

测试八答案与提示

1.提示：建立直角坐标系，设点A为边上的一点，首先证明B只能在端点上（以点B所在线段中垂线为y轴），取得极值。同理，当固定B时，A在端点取得最大值。 2.提示：令x?33?2,则（x-2）?3，展开再消去2 3.2.提示将a,b满足的条件表示为区域，利用规划求极值。 4.

3b2a?b2.提示：利用解析法，折线是BD的中垂线。 a5.B≥A. 提示：找B对应的行交A对应的列为X