2015年江苏省南通市中考数学试题及解析

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考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： 根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案． 解答： 解：由垂径定理，得 AC=AB=12cm． 有半径相等，得 OA=OD=13cm． 由勾股定理，得 OC===5． 由线段的和差，得 CD=OD﹣OC=13﹣5=8cm， 故答案为：8． 点评： 本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理． 16．（3分）（2015?南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．

考点： 等腰三角形的性质． 分析： 设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数． 解答： 解：∵AC=AD=DB， ∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C， 设∠ADC=α， ∴∠B=∠BAD=∵∠BAC=102°， ∴∠DAC=102°﹣， ， 在△ADC中， ∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°， 第13页（共26页）

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∴2α+102°﹣=180°， 解得：α=52°． 故答案为：52． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等． 17．（3分）（2015?南通）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，

=，

△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则

的值等于 ．

考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 分析： 首先根据=设AD=BC=a，则AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=a，然，后根据射影定理得到BC=CE?CA，AB=AE?AC从而求得CE=222，AE=得到解答： 解：∵=，利用△CEF∽△AEB，求得=（）=． =， ∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a， ∴AC=a， ∵BF⊥AC， ∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC， 22∴BC=CE?CA，AB=AE?AC 22∴a=CE?a，2a=AE?a， ∴CE=∴=， ，AE=， ∵△CEF∽△AEB， ∴=（）=2， 故答案为：． 第14页（共26页）

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点评： 本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大． 18．（3分）（2015?南通）关于x的一元二次方程ax﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是

＜a＜﹣2 ．

2

考点： 抛物线与x轴的交点． 分析： 首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围． 2解答： 解：∵关于x的一元二次方程ax﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根， ∴△=（﹣3）﹣4×a×（﹣1）＞0， 解得：a＞22， 设fx=ax﹣3x﹣1 ∵实数根都在﹣1和0之间， ∴当a＞0时，如图①，f（﹣1）＞0，f（0）＞0 2f（0）=a×0﹣3×0﹣1=﹣1＜0， ∴此种情况不存在； 当a＜0时，如图②，f（﹣1）＜0，f（0）＜0， 2即f（﹣1）=a×（﹣1）﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0， 解得：a＜﹣2， ∴＜a＜﹣2， ＜a＜﹣2． 故答案为： 第15页（共26页）

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点评： 本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=﹣1时函数值的取值范围是解答此题的关键． 三.解答题（共10小题，共96分）

19．（10分）（2015?南通）（1）计算：（﹣2）﹣（2）解方程：

=

．

2

+（﹣3）﹣（）

0﹣2

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题． 分析： （1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答： 解：（1）原式=4﹣4+1﹣9=﹣8； （2）去分母得：x+5=6x， 解得：x=1， 经检验x=1是分式方程的解． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8分）（2015?南通）如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 第16页（共26页）