【金版学案】高考数学文科二轮复习习题：专题第二讲线性规划基本不等式与不等式的证明含答案

第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明

预测2016年高考中一定有线性规划小题，利用不等式性质与基本不等式的小题一般也会考到，且基本不等式也可能在大题中求最值问题中用到.但由于现在常用导数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求最值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中可能性很大.

线性规划问题

线性规划问题的解题步骤为：

1.设出变量x，y，列出变量x，y的线性约束条件，确定目标函数. 2.作出可行域和目标函数值为0的直线l.

3.利用直线l确定最优解对应的点，从而求出最优解.

基本不等式的应用问题 a＋b

1.基本不等式：≥ ab.

2

（1）基本不等式成立的条件：a，b＞0Ｗ. （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

（3）应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值Ｗ.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值Ｗ.

2.几个重要的不等式.

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）. ba

（2）＋≥2（a与b同号）.

ab

11

（3）a＋≥2（a＞0），a＋≤－2（a＜0）.

aa

?a＋b?2

?（a，b∈R）. （4）ab≤?2??

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.（×）

（2）不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.（√）

3x－y－6<0，??

（3）不等式组?x－y＋2>0，表示的平面区域是如图所示的阴影

??x≥0，y≥0 部分.（×）

（4）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.（√）

1

（5）若a>0，则a3＋2的最小值为2a.（×）

a（6）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）.（√）

2x＋y≥4，??

1.设x，y满足?x－y≥1，则z＝x＋y（B）

??x－2y≤2，A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值

D.既无最小值，也无最大值

解析：画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2，0）时，z取得最小值，最小值为z＝2，无最大值.故选B.

x＋2≥0，??

2.（2015·天津卷）设变量x，y满足约束条件?x－y＋3≥0，则目

??2x＋y－3≤0，标函数z＝x＋6y的最大值为（C）

A.3 B.4 C.18 D.40

解析：由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A（0，3）时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.