4二次函数几何变换及方程和不等式 习题集B(2013-2014)-教师版

中考满分必做题

【例1】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2?4x?5的值的情况．他们作了如下分工：小明负

责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分

钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）

A.小明认为只有当x?2时，x2?4x?5的值为1. B.小亮认为找不到实数x，使x2?4x?5的值为0.

C.小梅发现x2?4x?5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值

D.小花发现当x取大于2的实数时，x2?4x?5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值.

【解析】当x2?4x?5?1时，解得x1?x2?2，故A正确

当x2?4x?5?0时，??0，故B正确

∵x2?4x?5?(x?2)2?1，当x?2时，有最小值1，但没有最大值.故C错，D正确.

【答案】C

2【例2】 对于每个非零自然数n，抛物线y?x?2n?11x?与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示

n?n?1?n?n?1?这两点间的距离，则A1B1?A2B2?…+A2012B2012的的值是（ ） A．

【答案】D

【例3】 已知二次函数y?x2?x?a(a?0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论

中正确的是（ ）

2012 2011B．

2011 2012C．

20132012 D． 20122013A.m?1的函数值小于0B.m?1的函数值大于0

C.m?1的函数值等于0D.m?1的函数值与0的大小关系不确定

【解析】由题意得：此二次函数与x轴有两交点，两交点横坐标为x1，x2(x1?x2)，

两交点的距离为d?1?4a， ∵a?0，∴d?1，

∵当x取m时，函数值小于0， ∴x1?m?x2，

∴m?x1?x2?x1?1，∴m?1?x1 ∴当x取m?1时，函数值大于0 ∴选B．

【答案】B 【例4】已知关于x的一元二次方程2x2?4x?k?1?0有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y?2x2?4x?k?1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部

1分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b?b?k?与此图象有

2两个公共点时，b的取值范围.

【解析】（1）由题意得，??16?8(k?1)≥0．

∴k≤3．

∵k为正整数， ∴k?1，2，3．

中考解决方案 第三阶段·模块课程·几何变换及方程和不等式·学案 Page 1 of 6

y642-4AOB24x-2-4-6-8（2）当k?1时，方程2x?4k?k?1?0有一根为零； 当k?2时，方程2x2?4x?k?1?0无整数根；

当k?3时，方程2x2?4x?k?1?0有两个非零的整数根． 综上所述，k?1和k?2不合题意，舍去；k?3符合题意．

当k?3时，二次函数为y?2x2?4x?2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y?2x2?4x?6．

2

（3）设二次函数y?2x2?4x?6的图象与x轴交于A、B两点，则A(?3，0)，B(1，0)．依题意翻折后的图象如图所示．

13当直线y?x?b经过A点时，可得b?；

2211当直线y?x?b经过B点时，可得b??．

2213由图象可知，符合题意的b(b?3)的取值范围为??b?

2213【答案】（1）k?1，（2）y?2x2?4x?6；（3）??b? 2，3；

22【例5】阅读材料，解答问题．

例：用图象法解一元二次不等式：x2?2x?3?0．

解：设y?x2?2x?3，则y是x的二次函数． ∵a?1?0，∴抛物线开口向上．

又∵当y?0时，x2?2x?3?0，解得x1??1，x2?3． ∴由此得抛物线y?x2?2x?3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x??1或x?3时，y?0．

∴x2?2x?3?0的解集是x??1或x?3．

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2?2x?3?0的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2?1?0．

【解析】（1）?1?x?3．

（2）解：设y?x2?1，则y是x的二次函数． ∵a?1?0，∴抛物线开口向上．

又∵当y?0时，x2?1?0，解得x1??1，x2?1．

∴由此得抛物线y?x2?1的大致图象（图象略）． 观察函数图象可知：当x??1或x?1时，y?0．

∴x2?1?0的解集是：x??1或x?1．

【答案】（1）?1?x?3；（2）x??1或x?1 【例6】已知二次函数y?x2?(m?1)x?m?1

中考解决方案

第三阶段·模块课程·几何变换及方程和不等式·学案

Page 2 of 6

（1）求证：不论m为任何实数，这个函数的图象与x轴总有交点，

（2）m为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？

【答案】（1）当y?0时，x2?(m?1)x?m?1?0

∵??(m?1)2?4(m?1)?m2?2m?5?(m?1)2?4?4?0， ∴不论m为任何实数，方程都有两个不等的实数根. ∴不论m为任何实数，这个函数的图象与x轴总有交点. （2）设x1，x2是方程x2?(m?1)x?m?1?0的两个根，

∴x1?x2?m?1，x1?x2?m?1，且x1，x2是这个函数图象与x轴交点的横坐标， ∴这两个交点间的距离为x1?x2.

∵x1?x2?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1?x2?(m?1)2?4(m?1)?(m?1)2?4. ∴当m?1时，x1?x2的值最小，最小值为2.

【例7】先阅读理解下面的例题，再按要求解答：

例题：解一元二次不等式x2?9?0． 解：∵x2?9??x?3??x?3?， ∴?x?3??x?3??0．

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有

?x?3?0?x?3?0（1）?（2）?

x?3?0x?3?0??解不等式组（1），得x?3，

解不等式组（2），得x??3，

故?x?3??x?3??0的解集为x?3或x??3，

即一元二次不等式x2?9?0的解集为x?3或x??3．

5x?1问题：求分式不等式?0的解集．

2x?3【解析】由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，有

?5x?1?0?5x?1?0（1）?（2）?

2x?3?02x?3?0??13解不等式组（1），得??x?，

5231解不等式组（2），得x?或x??，则不等式组无解，

525x?113故不等式?0的解集为??x?．

2x?35213【答案】??x?

5222【例8】对于任意两个二次函数：y1?a1x?b1x?c1，y2?a2x?b2x?c2?a1a2?0?，当a1?a2时，

0?，B?1，0?，记过三点的二我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有?ABM，A??1，次函数抛物线为“Cy”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．

yMMyMAON图1BxAOBxAOBx图2图3

Page 3 of 6

中考解决方案 第三阶段·模块课程·几何变换及方程和不等式·学案

1?，?ABM≌?ABN（图1）（1） 若已知M?0，，请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线；

（2） 在图2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．

n?，求抛物线CABM的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能① 若已知M?0，与CABM全等的抛物线解析式．

n?，当m、n满足什么条件时，存在抛物线CABM？根据以上的探究结果，判② 若已知M?m，断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．

【解析】（1） 设抛物线CABM的解析式为y?ax2?bx?c．

∵抛物线CABM?0?a?b?c?a??1??0?，B?1，0?，M?0，1?得?0?a?b?c，解得?b?0 过点A??1，?1?c?c?1??∴抛物线CABM的解析式为y??x2?1． 同理可得抛物线CABN的解析式为y?x2?1． ∵?1?1，∴CABM与CABN是全等抛物线．

（2） ①设抛物线CABM的解析式为y?ax2?bx?c． 抛物线CABM?0?a?b?c?a??n??0?，B?1，0?，M?0，n?，∴?0?a?b?c，解得?b?0 过点A??1，?n?c?c?n??∴抛物线CABM的解析式为y??nx2?n．

n?，?2，n?，?0，?n? 由A、B、M三点可知，平行四边形的第四个顶点坐标可能是??2，则经过平行四边形的三个顶点，且与CABM全等的抛物线解析式为y?nx2?n，y?n?x?1?，y?n?x?1?．

22②当m??1且n?0时存在抛物线CABM．

在该前提下，存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的 CBFM，CABN． 抛物线．如图，它们分别是CAEM，【答案】（1）CABM与CABN是全等抛物线．；（2）①平行四边形的第四个顶点坐标可能是

??2，n?，?2，n?，?0，?n?则经过平行四边形的三个顶点，且与CABM全等的抛物线解析式为

22y?nx2?n，y?n?x?1?，y?n?x?1?．②当m??1且n?0时存在抛物线CABM．

在该前提下，存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的

抛物线．如图，它们分别是CAEM，CBFM，CABN．

最容易重现的真题

【例1】 把抛物线y??x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）

A．y???x?1??3B．y???x?1??3 C．y???x?1??3D．y???x?1??3

【答案】D．

【例2】 将抛物线y?2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A．y?2?x?1?B．y?2?x?1?C．y?2x2?1D．y?2x2?1

中考解决方案

第三阶段·模块课程·几何变换及方程和不等式·学案

Page 4 of 6

222222